Carré des nombres
Bonsoir, en griffonant sur un papier, je pense avoir trouvé quelque chose. Rien de bien extraordinaire mais j’ai cherché, et je n’ai rien trouvé sur internet disant que cela avait déjà été démontré. Sans doute car c’est inutile vous me direz !
Bref voici les deux formules, et dites moi ce que vous en pensez :
(2n+1)^2= 1+8[somme]n
(2n)^2= 4[somme](2n-1) (à partir de n=1)
Bref voici les deux formules, et dites moi ce que vous en pensez :
(2n+1)^2= 1+8[somme]n
(2n)^2= 4[somme](2n-1) (à partir de n=1)
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Réponses
Dans la première, tu calcules la somme des entiers consécutifs de $1$ à $n$ et tu trouves [\sum_{k=1}^nk=\frac{(2n+1)^2-1}{8}=\frac{(2n+1+1)(2n+1-1)}{8}=\frac{n(n+1)}{2}.\]Pour l'autre, tu calcules la somme des premiers nombres impairs. Vu que $(2n)^2=2^2\times n^2=4n^2$, elle se récrit [\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2.\]Voici des « preuves sans mot » de la première (p. 2) et de la deuxième.
$1+8\dfrac {n(n+1)}{2}=4n^2+4n+1$
On peut montrer que $m$ est un nombre triangulaire ssi $8m+1$ est un carré.