Groupes de Mathieu M11 et M12
Montrer que dans le groupe symétrique de E= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, les permutations u =(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) et v = (5,6,4,10)(11,8,3,7) engendrent un sous groupe de cardinal 7 920;
On sait qu'il s'agit du groupe de Mathieu M11 quatre fois strictement transitif sur E, donc de cardinal 11.10.9.8 = 7 920. Mais cet exercice figure dans le livre Arnaudiès, Fraysse Algèbre Classes prépas. Il doit donc y avoir une démonstration élémentaire sans la construction des groupes de Mathieu.
On sait qu'il s'agit du groupe de Mathieu M11 quatre fois strictement transitif sur E, donc de cardinal 11.10.9.8 = 7 920. Mais cet exercice figure dans le livre Arnaudiès, Fraysse Algèbre Classes prépas. Il doit donc y avoir une démonstration élémentaire sans la construction des groupes de Mathieu.
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Réponses
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Mauvaise blague vu le nombre de dizaines d'heures que j'ai passées à chercher ce fichu exo ! Et je ne suis sans doute pas le seul. Je sais que j'avais fini par appliquer laborieusement l'algorithme de Schreier-Sims, à la main bien sûr, ça tient sur 8 pages de calculs. Sinon un collègue de l'université Paul Sabatier dont je n'ai plus le nom m'avait fait parvenir la solution en pièce jointe, peut-être quelqu'un arrivera-t-il à simplifier ça.
Sinon, l'exo figure exactement avec la même formulation (juste avec des indices commençant à 0) dans Carmichael (1937) , Intr. Th. groups, p. 151, ex. 12 (peut-être une conséquence de l'exercice 11).
Je vais étudier la solution manuscrite.
Moi aussi j'ai cherché longtemps en vain une solution élémentaire !
Solution donnée en pièce jointe par Pascalortiz. (Solution imaginative et non élémentaire !) que je remercie encore.
Autre question elle aussi liée aux groupes de Mathieu : ici M12. On sait que le groupe précédent engendré par u et v est M11 stabilisateur de 12 dans M12.
Toujours dans Arnaudiès, "Dans le groupe symétrique S de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, on donne les éléments u et v précédents et
w =(1,12)(2,11)(3,6)(4,8)(5,9)(7,10). Montrer que {u,v,w} engendre dans S un groupe G de cardinal 95 040.
Il est clair que H est contenu dans le stabilisateur de 12 dans G et que donc card(G) est supérieur ou égal à 7 920 multiplié par 12 (cardinal de l'orbite de 12 dans G), donc card(G) supérieur ou égal à 95 040.
J'ai essayé de démontrer que si x est une permutation de G qui fixe 12 alors x est dans H. Sans succès.
Quelqu'un peut-il éclairer ma lanterne ?
Merci.
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Solution donnée en pièce jointe par Pascalortiz (solution imaginative et non élémentaire !) que je remercie encore.
Autre question elle aussi liée aux groupes de Mathieu : ici M12. On sait que le groupe précédent engendré par u et v est M11 stabilisateur de 12 dans M12.
Toujours dans Arnaudiès, "Dans le groupe symétrique S de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, on donne les éléments u et v précédents et
w =(1,12)(2,11)(3,6)(4,8)(5,9)(7,10). Montrer que {u,v,w} engendre dans S un groupe G de cardinal 95 040.
Il est clair que H est contenu dans le stabilisateur de 12 dans G et que donc card(G) est supérieur ou égal à 7 920 multiplié par 12 (cardinal de l'orbite de 12 dans G), donc card(G) supérieur ou égal à 95 040.
Je cherche une solution n'utilisant pas les résultats de la littérature sur les groupes de Mathieu, résultats affirmés plus souvent que démontrés.
J'ai essayé de démontrer que si x est une permutation de G qui fixe 12 alors x est dans H. Sans succès.
Quelqu'un peut-il éclairer ma lanterne ?
Merci.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur les groupes de Mathieu. AD]