Terme général d'une suite

Avec la réponse (fournie par Maple) sous les yeux, on imagine plus facilement un chemin.
Voici une façon de procéder : commencer par ignorer le $+1$ dans la parenthèse, on le traitera plus tard avec une idée de « variation de la constante ». On cherche donc $(u_n)$ telle que \[\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{a+n+1}.\]Il suffit de multiplier une suite telle que $\frac{v_{n+1}}{v_n}=n+1$ (très facile !) et une suite telle que $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{1}{a+n+1}$ (pas dur après la précédente ; pense à la relation satisfaite par $(1/w_n)$). On cherche alors $(U_n)$ sous la forme $(x_nu_n)$, où $(u_n)$ est la suite que l'on vient de trouver. La relation de récurrence s'écrit [x_{n+1}u_{n+1}=\frac{n+1}{a+n+1}(x_nu_n+1),\quad\text{soit}\ x_{n+1}u_{n+1}=x_nu_{n+1}+\frac{n+1}{a+n+1}.\]Il vient\[x_{n+1}-x_n=\frac{1}{u_n}.\]Il se trouve que l'on peut calculer la somme $\sum_{k=0}^n\frac1{u_k}$.

Une autre méthode, sans doute plus naturelle, consiste à essayer de calculer la série formelle $\sum_{n\ge0}U_nx^n$. On peut écrire la relation de récurrence sous la forme\[aU_{n+1}+(n+1)U_{n+1}=nU_n+U_n+(n+1).\]Partant, on multiple par $x^{n+1}$ et on somme sur $n$. Si on veut éviter les séries formelles, il faut éventuellement justifier la convergence pour des $x$ convenables par une majoration a priori (c'est-à-dire, à partir de la relation de récurrence) ou a posteriori (une fois qu'on a une suite candidate, c'est facile de vérifier la convergence).

Bonne chance !

C'est juste mais la somme se simplifie.

Cher MK99, l'énoncé que tu as donné est beaucoup plus difficile que l'énoncé complété par la condition $U_0=0$... Avec cette contrainte, on calcule tout de suite : $U_1=1/(a+1)$, $U_2=2/(a+1)$, etc., ce qui permet de deviner la relation et de la vérifier très facilement par récurrence. N'y a-t-il pas un peu de légèreté là-dessous ?

Bon, d'accord, ce n'est pas de la dissimulation d'information.

Même s'il n'y a plus trop de suspense, j'essaie de mener les calculs à leur terme. On cherche les suites $(u_n)$ telles que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{a+n+1}$ $(\ast)$. Pour la suite $(v_n)$ définie par $v_n=n!$ pour tout $n$, on a $\frac{v_{n+1}}{v_n}=n+1$ ; pour $w_n=\frac1{(a+n)!}$, on a $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{1}{a+n+1}$ donc la suite définie par $u_n=v_nw_n=\frac{n!}{(a+n)!}$ engendre la droite de solutions de $(\ast)$ (plus précisément, $(\ast)$ définit une droite si on chasse $u_n$ du dénominateur). C'est aussi bien de remplacer $(u_n)$ par la suite dont le terme général est encore noté $u_n=\frac{1}{a!}u_n=1/\binom{a+n}{n}$.

On cherche alors $(U_n)$ sous la forme $(x_nu_n)$. La relation sur $(U_n)$ se traduit par $x_{n+1}-x_n=\binom{n+a}{n}$. Il reste à montrer que $x_{n}=x_0+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{a+k}{k}=x_0+\binom{a+n}{n-1}$. C'est classique : si on considère $\binom{a+n}{n-1}$ comme le nombre de chemins « est » ou « nord » qui relient $(0,0)$ à $(n-1,a+1)$ dans un rectangle, il n'y a qu'à compter les chemins selon l'abscisse $k$ du point où ils rejoignent le bord supérieur du rectangle : il y a $\binom{a+k}{k}$ façons d'aller de $(0,0)$ à $(k,a)$, puis le dernier pas vertical relie le point $(k,a)$ à $(k,a+1)$, puis il y a une seule façon d'aller de $(k,a+1)$ à $(n-1,a+1)$.

Par les séries génératrices, il faut peut-être trouver $f(x)=\sum_{n\ge0}U_nx^n$ solution de \[a(f(x)-x)+xf'(x)=x^2f'(x)+xf(x)+\frac{x}{(1-x)^2}\] mais je ne suis pas trop sûr des calculs...