Base de l'image d'une application linéaire

Par construction de la matrice, l'image est l'espace vectoriel engendré par les colonnes.

On ne peut pas parce que cette famille n'a pas de raison d'être libre en général. Pense par exemple au cas de l'application nulle ($f(v)=\vec0$ pour tout $v\in\R^n$).

Désolé, je n'avais pas vu « la base de l'image » dans ta question initiale. Note d'abord que l'article « la » est inapproprié parce qu'il indique l'unicité de la base et qu'à part l'espace de dimension $0$, il y a toujours une infinité de bases.

On cherche donc une base du sous-espace vectoriel engendré par les colonnes $(C_1,\dots,C_n)$ d'une matrice $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$. On a une famille génératrice, on sait qu'on peut en extraire une base : on peut calculer le rang et trouver une famille de colonnes linéairement indépendante ayant un nombre de vecteurs égal au rang.

Une autre façon de faire, c'est d'appliquer l'algorithme du pivot de Gauss en manipulant les colonnes (parce que quand on fait des manipulations élémentaires sur les colonnes d'une matrice, on ne change pas l'espace vectoriel engendré (pourquoi ?)).

Voici un exemple. La relation $\sim$ entre deux matrices signifie que leurs colonnes engendrent le même sous-espace de $\R^4$.
\begin{align*}
A&=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&0&2\\1&2&0&1\\1&2&1&2\end{pmatrix}\\
&\sim\begin{pmatrix}1&0&0&0\\
2&0&-6&-6\\
1&0&-3&-3\\
1&0&-2&-2
\end{pmatrix}&\begin{cases}C_2\leftarrow C_2-2C_1\\C_3\leftarrow C_3-3C_1\\C_4\leftarrow C_4-4C_1\end{cases}\\
&\sim\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\2&-6&0&0\\1&-3&0&0\\1&-2&0&0\end{pmatrix}&
\begin{cases}C_2\leftrightarrow C_3\\C_4\leftarrow C_4-C_3\end{cases}
\end{align*}et là, il doit être clair que $\bigl((1,2,1,1),(0,-6,-3,-2)\bigr)$ est une base de l'image.

Avec une matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1, tu peux aussi échelonner suivant les colonnes en utilisant l'algorithme de Gauss comme l'a fait Math Coss. C'est particulièrement simple dans ce cas !
Par ailleurs, vu que toutes les colonnes de la matrice sont les mêmes, il n'est pas difficile de trouver le sous-espace engendré par les colonnes, ainsi qu'une base de celui-ci !