Sous-groupes éventuels de $\mathfrak S_n$

Oui. Pour avoir $S_k \subset S_n$ il suffit de prendre $\{\sigma \in S_n : \sigma(j) = j, j = k+1, \dots, n\}$

Lapsus : il faut laisser invariants certains points.

Plus généralement, le fixateur d'un élément quelconque $i$ de $\{1,\dots,n\}$ dans $S_n$ (l'ensemble des $\sigma\in S_n$ tels que $\sigma(i)=i$) est isomorphe à $S_{n-1}$.

C'est vrai.

À part cette situation exceptionnelle, on peut aussi plonger $S_k$ « diagonalement » dans $S_{kp}$.

Exemple ($k=3$, $p=2$) : le groupe engendré par $(1,2,3)(4,5,6)$ et $(1,2)(4,5)$ dans $S_6$ est isomorphe à $S_3$.

Plus généralement, le sous-groupe de $S_{2k}$ formé des permutations $\sigma$ telles que $\sigma(j+k)=\sigma(j)+k$ pour $j\in\{1,\dots,k\}$ est isomorphe à $S_k$.

C'est quoi, des transpositions orthogonales ?

@nicolas.patrois : ah, tu voulais dire "le sous-groupe engendré par un produit de transpositions à supports disjoints" ?

As-tu maintenant compris ton erreur ?

Il n'y a aucune ambigüité dans le pdf à ce niveau. Juste une notation qui n'aide pas tellement.

Ici, c'est une erreur de l'auteur : on a bien $p''=p+p'$.

L'ordre d'un cycle, c'est sa longueur. Si on écrit une permutation comme produit de cycles disjoints en mettant un cycle de longueur 1 (qui est une autre façon d'écrire l'identité...), chaque nombre entre $1$ et $n$ est écrit une fois et une seule (pourquoi ?). Tu peux conclure ?

Ça n'explique rien : la permutation $(1,2)(2,3)(1,2)$ est une bijection de $\{1,2,3\}$ dans lui-même (laquelle ?) mais plusieurs nombres apparaissent plusieurs fois.

Oui, c'est le point clé.
Chaque nombre intervient une fois au plus car les cycles sont disjoints et que dans chaque cycle, il intervient au plus une fois (ça rentre dans la définition d'un cycle).
Chaque nombre intervient au moins une fois parce qu'un point qui n'est fixe apparaît dans un cycle et que l'on ajoute un « cycle » de longueur 1 pour chaque point fixe.

Clé : dans n'importe quel groupe, l'ordre du produit de deux éléments qui commutent est divise le ppcm des ordres des éléments (pourquoi ?).

Par conséquent, dans le groupe symétrique, l'ordre d'un élément est le ppcm des ordres des cycles disjoints qui le composent.

Pour obtenir $15$ comme ppcm, on a deux possibilités :

• soit un $15$-cycle : on est donc au moins dans $S_{15}$ ;
• soit des $3$-cycles et des $5$-cycles disjoints ; il en faut au moins un de chaque donc il faut au moins $3+5=8$ nombres à permuter ; inversement, l'élément $(1,2,3)(4,5,6,7,8)$ de $S_8$ est bien d'ordre $15$.

Edit : remplacement « est » par « divise » ci-dessus.

Non, on ne peut pas définir un morphisme « ordre ». Même avec un seul cycle $\gamma$ d'ailleurs, par exemple parce que si l'ordre de $\gamma$ est $r$, l'ordre de $\gamma^r$ est $1$ au lieu d'être $r^r$.

Contre-exemples : si $\gamma=(1,2)$ et $\delta=(2,3)$, quel est l'ordre de $\gamma^2$ ? de $\gamma\delta$ ?

Bon, revenons un peu en arrière (là où j'ai écrit une bêtise plus haut). On se donne deux éléments $x$ et $y$ qui commutent dans un groupe.
a) Que peux-tu dire, pour $k$ entier relatif, de $(xy)^k$ ? Comment le prouves-tu ?
b) On appelle $r$ et $s$ les ordres respectifs de $x$ et $y$ et $m=\mathrm{ppcm}(r,s)$.
c) Si $r$ et $s$ sont premiers entre eux, alors les groupes engendrés par $x$ et $y$ ont une intersection triviale (réduite à $\{1\}$) et l'ordre de $xy$ est $rs$.
d) Justifie néanmoins la propriété : « dans le groupe symétrique, l'ordre d'un élément est le ppcm des ordres des cycles disjoints qui le composent. »

Cela ne permet évidemment pas de définir un morphisme sur le groupe symétrique entier (voir ci-dessus).

Pour les contre-exemples :

• $\gamma^2$ est bien d'ordre $1$ puisque c'est l'identité ;
• $\gamma\delta=(1,2,3)$ qui est d'ordre $3$.

Cela doit montrer qu'en général, il n'y a pas de règle simple entre l'ordre d'un produit et les ordres des facteurs. Pour $\gamma\delta$, pas de commutation, pas de relation entre les ordres. Pour $\gamma^2$, bien que $\gamma$ commute avec $\gamma$, l'ordre du produit n'est pas le ppcm des ordres (contrairement à ce que j'ai écrit et rectifié plus haut) ; cependant, il le divise.

a) Oui, $(xy)^k=x^ky^k$. Cela se démontre par exemple récurrence pour $k\ge0$ puis par passage à l'inverse pour $k<0$ (si on en est là, il ne faut pas oublier de vérifier que $x$ commute avec tous les $y^k$ et que $y$ commute avec les $x^k$).

b) Euh, pas de question...

c) Soit $z$ dans l'intersection des groupes engendrés par $x$ et $y$. Il existe donc $k$ et $\ell$ entiers tels que $z=x^k=y^\ell$. On a $z^r=x^{kr}=(x^r)^k=e$ (le neutre du groupe) donc l'ordre de $z$ divise $r$ ; de même, $z^s=(y^s)^\ell=e$ donc l'ordre de $z$ divise $s$. Puisque $r$ et $s$ sont premiers entre eux, l'ordre de $z$ vaut $1$, c'est-à-dire que $z=e$.

Soit $o$ l'ordre de $xy$, alors $e=(xy)^o=x^oy^o$. On en déduit que $z=x^o=y^{-o}$ appartient au groupe engendré par $x$ et au groupe engendré par $y$ et donc $x^o=y^{-o}=e$. Par conséquent, l'ordre de $xy$ est un multiple de $r$ et de $s$ et donc de $rs$.

L'exemple de $x=y=\gamma=(1,2)$ ci-dessus montre que la conclusion est fausse en général.

d) Bon, il faut bien te laisser quelque chose à faire ! Clé : les groupes engendrés par des cycles à supports disjoints ont des intersections triviales.