Un exercice intéressant

bonjour

je ne trouve pas la relation donnée par Math Coss, en fait :

$$m = \frac{1}{q} + \frac{q^3}{1+q^2}$$

démonstration : soit $u_3$ le troisième terme de la suite géométrique et donc :

$S" = u_1 + u_3 + u_5 = u_3 (\frac{1}{q^2} + 1 + q^2)$ et $S' = u_2 + u_4 = u_3 (\frac{1}{q} + q)$ d'où :

$m = \frac{S"}{S'} = \frac{\frac{1}{q^2} + 1 + q^2}{\frac{1}{q} + q}$ soit le résultat annoncé

l'équation du 4ème degré $q^4 - mq^3 + q^2 - mq + 1 = 0$
est de coefficients symétriques et en posant u = q + 1/q il vient :

u² - mu - 1 = 0 soit 2 racines u1 et u2

et finalement il vient les 4 racines en q sachant que u² - 4 reste positif ou nul :

$q = \frac{u_1 +ou - \sqrt{u^2_1 - 4}}{2}$ et $q = \frac{u_2 + ou - \sqrt{u^2_2 - 4}}{2}$

cordialement

On divise par a les termes de la suite géométrique $(aq^{-2},aq^{-1},a,aq,aq^2)$
ce qui donne la suite de même raison $(q^{-2},q^{-1},1,q,q^2)$.
On a $s''/a = ms'/a$, càd. $(q^{-2}+1+q^2)=m(q^{-1}+q)$.

Le changement de variable $z=q+1/q$ donne $z^2-1=mz$ et $$
z=\frac{1}{2}(m\pm \sqrt{m^2+4})
$$ On rétrosubstitue pour obtenir $$
q=\frac{1}{4}\left(m+e_1\sqrt{m^2+4}+e_2\sqrt{2\left( m^2-6+e_1\sqrt{m^2+4} \right)} \right)
$$ où $e_i=\pm 1$.