Groupes abéliens finis & caractères

Effectivement ça me paraît bizarre... Pour moi le lemme de relèvement se prouvait plutôt ainsi: on part de $\chi : H\to \mathbb{U}$ un caractère.

On prend ensuite $K$ un sous-groupe de $G$ contenant $H$, maximal parmi les sous-groupes de $G$ tels qu'il existe un relèvement de $\chi$ à $K$, on note toujours $\chi: K\to \mathbb{U}$ le relèvement.

On suppose alors que $K\neq G$; soit donc $x\in G\setminus K$. Soit $k$ le plus petit entier tel que $y=x^k \in K$, et on note $\xi = \chi(y)$.

Si on prend alors $\omega$ une racine $k$-ième de $\xi$, tout se passe bien en définissant $f$ sur $\langle K, x\rangle$ par $f(hx^n) = \chi(h)\omega^n$ pour $n\in \mathbb{Z}, h\in K$.

En effet si $hx^n = h' x^m$, on a $hh'^{-1} = x^{m-n}$ et donc $k\mid m-n$ (par choix de $k$), disons $kp = m-n$ et alors $hh'^{-1} = y^p$ de sorte que $\chi(h)\omega^n = \chi(hh'^{-1})\chi(h')\omega^n= \chi(y)^p\chi(h')\omega^n =\chi(h') \xi^p\omega^n =\chi(h') \omega^{kp}\omega^n = \chi(h')\omega^m$; de sorte que $f$ est bien définie, et est clairement un morphisme de groupes, et que $f$ prolonge clairement $\chi$, ce qui contredit la maximalité de $K$: donc $K=G$ et c'est bon.

(on peut aussi le justifier en disant que $\langle K, x\rangle$ est isomorphe à $K\oplus \langle x\rangle / (x^k = y)$ et alors le fait que le morphisme est bien défini provient simplement de la propriété universelle de la somme directe et du quotient)

Je ne connais pas d'argument autre que le théorème de structure pour $|\hat{G}| = |G|$... mais je serais ravi d'en voir un!

Bonjour
Dans le livre de Caldero-Germoni, ils utilisent un peu de théorie des représentations, de la façon suivante:

Soit $G$ un groupe fini on définit le dual $\widehat{G}$ comme l'ensemble des caractères irréductibles de $G$, donc dans le cas d'un groupe abélien fini il y a $card(G)$ classes de conjugaison et donc $card(G)$ caractères irréductibles, d'où $card(G)=card(\widehat{G})$.

Cordialement.

Mais il ne s'agit pas ici des mêmes caractères, si je ne me trompe pas ? Les caractères associés au représentations sont les $Tr\circ \rho$, $\rho$ une représentation alors qu'ici il s'agit de morphismes $G\to \mathbb{C}^\times$... Qu'est-ce que je ne vois pas ?

@Maxtimax
Pour les groupes abéliens finis (relis le post de @Working Class Hero) les représentations irréductibles sont de degré 1 donc ils correspondent a des morphismes $f: G\longrightarrow GL_1(\mathbb C)$ et via l'identification $GL_1(\mathbb C)\simeq \mathbb C^*$ les deux sont semblables.

@Maxtimax
La façon élémentaire ne nécessite (quasi) pas de connaissance "il suffit" de poser tel morphisme et voir que ça fonctionne