Idéaux
Bonjour.
Je n'arrive pas à montrer ce résultat , si vous permettez de m'aider.
$ (A,+, \times) $ un anneau commutatif, si $ I $ et $J $ sont deux idéaux de $ A $, alors $ I.J = \lbrace i_{1} j_{1} + \cdots + i_{n} j_{n} \mid n \in \N , \ i_{k} \in I, \ j_{k} \in J \rbrace $ est un idéal de $A$.
Et merci d'avance.
Je n'arrive pas à montrer ce résultat , si vous permettez de m'aider.
$ (A,+, \times) $ un anneau commutatif, si $ I $ et $J $ sont deux idéaux de $ A $, alors $ I.J = \lbrace i_{1} j_{1} + \cdots + i_{n} j_{n} \mid n \in \N , \ i_{k} \in I, \ j_{k} \in J \rbrace $ est un idéal de $A$.
Et merci d'avance.
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Réponses
Que dois-tu montrer pour que $I.J$ soit un idéal ?
$I.J$ est un idéal de $A$ si $(I.J,+)$ est un sous groupe de $(A,+)$ et que pour $a\in A$ et $x\in I.J$ $ax\in I.J$ ( stable par multiplication par $A$).
Par étape:
1) $e_{A}\in I.J$ c'est facile non ?
2) Si $x,y\in I.J$ alors que dire de $x+y$
3) Si $x\in I.J$ alors que dire de $-x$
4) Soit $a\in A$ et $x\in I.J$ on écrit $x=\sum \limits_{i=0}^n a_i b_i,\ a_i\in I$ et $b_i\in J$ alors que dire de $ax$ ?
Ce que je veux montrer c'est , si $ x = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}} i_{k } j_{k} $ et $ y= \displaystyle{\sum_{l=1}^{m}} i'_{k } j'_{k} $ sont deux éléments de $ I.J $, alors $ x-y \in I.J $ .
les autres choses sont évidentes .