Factorisation de polynôme
Bonjour,
j'ai hésité entre analyse et algèbre car la question porte sur des polynômes mais le contexte est de l'algèbre linéaire..
Dans le sujet HEC2011 ECS http://jfcossutta.lycee-berthelot.fr/IMG/pdf/HEC_MI_2011_Orig.pdf
On peut lire dans la correction de la question 4)b) (Partie 2) la chose suivante :
Soit mu un complexe et alpha(0),...,alpha(n-1) (les entiers entre parenthèses représentent des indices) ses n racines n-ièmes
Alors X^n-mu= produit pour j allant de 0 à n-1 des X-alpha(j)
Et pour conclure à la question, on évalue en la matrice A d'où la réponse
D'où sort cette factorisation? Probablement car les racines du polynômes X-mu sont les alpha(j) (quel rapport avec le fait les alpha(j) soient racines n-èmes de mu??) (d'après la factorisation habituelle) et que le coefficient dominant de X-mu est évidemment 1
Mais comment le sait-on (que les alpha(j) sont racines de X-mu, à moins que ce ne soit pas cette raison) ??
Merci
j'ai hésité entre analyse et algèbre car la question porte sur des polynômes mais le contexte est de l'algèbre linéaire..
Dans le sujet HEC2011 ECS http://jfcossutta.lycee-berthelot.fr/IMG/pdf/HEC_MI_2011_Orig.pdf
On peut lire dans la correction de la question 4)b) (Partie 2) la chose suivante :
Soit mu un complexe et alpha(0),...,alpha(n-1) (les entiers entre parenthèses représentent des indices) ses n racines n-ièmes
Alors X^n-mu= produit pour j allant de 0 à n-1 des X-alpha(j)
Et pour conclure à la question, on évalue en la matrice A d'où la réponse
D'où sort cette factorisation? Probablement car les racines du polynômes X-mu sont les alpha(j) (quel rapport avec le fait les alpha(j) soient racines n-èmes de mu??) (d'après la factorisation habituelle) et que le coefficient dominant de X-mu est évidemment 1
Mais comment le sait-on (que les alpha(j) sont racines de X-mu, à moins que ce ne soit pas cette raison) ??
Merci
Réponses
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Étape 1 : évalue le produit pour $X=\alpha_{i}$ (pour chaque $i$ entre $0$ et $(n-1)$), et vérifie que l'équation est bien respectée.
Étape 2 : si tu connais $n$ racines (edit : distinctes, ou prises avec leur ordre de multiplicité) d'un polynôme de degré $n$ alors tu les connais toutes. -
Par définition, $\alpha_i$ est une racine $n$-ième de $\mu$ si et seulement si $\alpha_i^n=\mu$, c'est-à-dire si et seulement si $\alpha_i$ est racine du polynôme $X^n - \mu$.
Ensuite on dispose de $n$ racines distinctes d'un polynôme de degré $n$ (et qui est de plus unitaire) donc ce polynôme se factorise exactement de la manière citée. Il y a plusieurs manières de le voir, soit par division euclidienne, soit en invoquant la factorisation en produit de polynômes irréductibles dans $\mathbb C[X]$.
Attention, tu sembles confondre les polynômes $X-\mu$ et $X^n-\mu$. -
Merci pour vos réponses!
Effectivement j'ai fait une faute de frappe...
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