Anneaux et idéaux

1°) Qu'as-tu essayé ?
2°) Dans la question 2, que vient faire $U$ et qui est $u$ ? (Vérifie l'énoncé).

Si $U=u$, l'énoncé n'a aucun sens : qu'est-ce que le polynôme $1-uX$ si $u$ est un élément de $\mathrm{Spec}(A)$ ?
Vérifie l'énoncé, et corrige-le.

Qu'as-tu essayé pour le 1) ?
Indication : $I_1=A[X]$ si et seulement si $1\in I_1$.
Comment sont faits les éléments de $I_1$ ?

Ta description des éléments de $I_1$ mériterait une démonstration. Pour le reste, je suis d'accord.
Ensuite ? (le 1) ne sert pas forcément pour les questions qui suivent).

Ce n'est pas mieux :
Tu écris toujours quelque chose de faux : $\mathfrak m \cap A=\emptyset$, et tu ne donnes aucune justification valable de $1=(1-uX)+uX \in \mathfrak m$. Pourquoi $(1-uX)+uX \in \mathfrak m$ ?

Non, je ne vais pas faire l'exo à ta place.
Je te donne tout de même une indication qui fait 75% du travail : $u\in \mathfrak m\cap A$.
Justifie cette appartenance, et utilise-la.

Trop difficile à lire pour moi.

Je n'ai pas le millième des compétences de GaBuZoMeu, mais... pour cette récurrence, je ne vois pas trop ce qui te bloque. Ce qu'a suggéré GaBuZoMeu, c'est la même chose que ce que tu as fait mais dans un ordre plus agréable parce qu'on ne calcule que sur des valeurs connues (ça marche car on a pu déterminer $a_0$ sans récurrence, et après... à toi de nous montrer). Il serait également préférable d'écrire la récurrence proprement, autrement dit énoncer clairement ta propriété de récurrence $\mathcal{H}_k$, dire avec quelle valeur de $k$ tu fais l'initialisation, pour quelles valeurs de $k$ ta démonstration de l'hérédité est valide, et enfin quelle valeur t'intéresse pour conclure.

D'ailleurs, si tu bloques sur l'hérédité (c'est à dire sur le fait que $\mathcal{H}_k$ entraîne $\mathcal{H}_{k+1}$ pour un ensemble de valeurs de $k$ à préciser avec soin), commence par voir ce que cela donne pour la plus petite valeur de $k$ admissible (laquelle est-ce ?). C'est un cas particulier, mais si tu sais t'en sortir sur ce cas particulier, le cas général ne devrait pas poser problème.

Encore une fois : c'est grosso modo la même chose que ce que tu as écrit, mais dans un autre ordre. Quel est l'argument clé sur le polynôme $FP$ utilisé dans ta récurrence « artisanale » (artisanale car tu as écrit quelques étapes, puis mis des pointillés, puis sauté jusqu'à l'étape qui t'intéresse) ? Applique cet argument dans le raisonnement suggéré par GaBuZoMeu à la fin de ce message et ça devrait aller tout seul...

(si le problème est que tu n'as jamais fait de raisonnement par récurrence avec énoncé de la propriété de récurrence, initialisation, hérédité puis conclusion, il faudrait vraiment faire un petit détour de ce côté-là avant de revenir aux idéaux premiers et maximaux)

Petite indication à l'encre invisible pour le choix de $H_k$ (sélectionne ci-dessous si tu souhaites la faire apparaître) :

Définis $H_k$ de sorte que $H_0$ signifie « $a_0=u^0$ », que $H_1$ signifie « $a_1=u^1$ », etc.

Un problème dans ta démonstration de l'hérédité : tu as écrit

On a : $a_{k+1} = 0$ or $ua_k = 0$.
Alors $a_{k+1} = ua_k$

Je ne suis pas d'accord :

1. Pourquoi aurait-on $a_{k+1} = 0$ ? À ce stade du raisonnement, il n'y a pas de raison de croire que $k = n$ ; de plus, même si c'était le cas, $a_{n+1}$ n'a pas été défini donc ça n'irait pas, sauf à dire explicitement que tu poses $a_i = 0$ pour tout $i > n$.
2. D'où sort le $u a_k = 0$ ? À nouveau, tu as montré que $u a_n = 0$ mais ici, $k$ n'est pas forcément égal à $n$ (s'il l'était, la récurrence ne fonctionnerait pas : il faut que $H_k \implies H_{k+1}$ soit vraie pour plusieurs valeurs de $k$, sinon, ça ne sert à rien de faire une récurrence !).
3. Quant au $a_{k+1} = u a_k$, c'est vrai et important, mais comme les deux points précédents ne conviennent pas, il faut le justifier d'une autre manière. Regarde le polynôme $FP$.

On ne peut rien faire avec une telle propriété de récurrence car :

• La valeur de $n$ a été fixée avant lorsque tu as défini $P$ à l'aide de ses coefficients. On ne peut pas faire varier $n$ ici, car on ne peut pas choisir $P$ dans ce raisonnement. $P$ a été défini comme l'inverse de $F = 1-uX$, il faut le prendre comme il est ; on n'a pas de contrôle sur lui, donc pas non plus sur $n$.
• La propriété que tu viens de donner est une conjonction de $n+1$ égalités (pour que cette propriété $H_n$ soit vraie, il faut et il suffit que les $n+1$ égalités données soient vraies). Ici, ton $H_n$ est un peu fort, il contient déjà tout le résultat qui nous intéresse... On a parfois affaire à des propriétés de récurrence de ce genre, mais ici ce n'est pas nécessaire, et surtout pas applicable tel quel à cause du premier point (la variable en indice).
  
  Tu peux voir le raisonnement par récurrence comme la montée d'un escalier. Pour chaque valeur de $k$, $H_k$ est une marche de l'escalier. Il faut qu'on puisse accéder à la première marche (initialisation) et que chaque marche permette d'atteindre la suivante (hérédité). Si tu commences avec une marche de 20 mètres de haut, ça va être difficile de monter.
  
  Note : ici, on pourrait s'en sortir avec un $H_k$ dans l'esprit de ce que tu as proposé en renommant les variables, mais cela compliquerait inutilement les choses.

Garde la variable $k$ comme indice de propriété et fais en sorte que, à $k$ fixé, ta propriété $H_k$ :

• contienne une seule égalité ;
• que cette égalité dépende de $k$.

Je te conseille de relire le début de ce message. En remplaçant mentalement $k$ par une valeur telle que $0$, $1$, $2$ dans ton $H_k$, tu dois trouver ce que j'ai mis à l'encre sympathique (terme plus approprié qu'« invisible », mea culpa).

Oui.

Pardon, je n'avais pas vu que Proxy était un troll.

@Kone (j'espère que j'écris bien ton nom ou prénom, sinon merci de me corriger) :

On a supposé que $(1-uX)P = 1$ avec $P = a_0 + a_1 X + \dotsb + a_n X^n$, où $a_i \in A$ pour tout $i$ dans $\{0, \dotsc, n \}$. On veut montrer, dans un premier temps, que $a_k = u^k$ pour tout $k$ dans $\{0, \dotsc, n \}$. Le plus simple pour cela, c'est de poser

pour tout $k$ dans $\{0, \dotsc, n \}$. $H_k$ est toute simple et dépend bien de $k$.

Maintenant :

1. Explique pourquoi $H_0$ est vraie.
2. Suppose que $H_k$ soit vraie pour un certain $k$ dans $\{0, \dotsc, n-1 \}$ et montre qu'alors $H_{k+1}$ est vraie.
3. Conclus.

Ceci fait, tu peux en tirer les conséquences qui nous intéressent concernant la question 3 de ton exercice.