Endomorphisme symétrique et base orthogonale
Bonjour à tous,
je bloque sur une question d'un exercice.
Pour résumer on a un endomorphisme symétrique $g$ défini sur $H=Vect(u_1,u_2)$ par $g(x)=\left<x \mid u_{1} \right>u_2+\left<x \mid u_{2} \right>u_1$ où $u_1$ et $u_2$ sont 2 vecteurs libres d'un espace euclidien $E$ de dimension $n\geq 3$.
Il est demandé d'écrire la matrice de $g$ dans la base orthogonale $(\|u_2 \|u_1-\|u_1 \|u_2,\ \|u_2 \|u_1+\|u_1 \|u_2)=(v_1,v_2)$.
J'ai trouvé des relations entres ces vecteurs : $u_1=\dfrac{v_2+v_1}{2\| u_2\|}$ et $u_2=\dfrac{v_2-v_1}{2\| u_1\|}$.
Ainsi qu'entre les coordonnées $(a,b)$ d'un vecteur de $H$ dans la base $(u_1,u_2)$ et ses coordonnées $(\alpha,\beta)$ dans la base $(v_1,v_2)$ :
$(a=(\beta+\alpha)\|u_2\|,\ b=(\beta-\alpha)\|u_1\|)$ et $\Big(\alpha =\dfrac{a\|u_1\|-b\|u_2\|}{2\|u_1\|.\|u_2\|},\ \beta =\dfrac{a\|u_1\|+b\|u_2\|}{2\|u_1\|.\|u_2\|}\Big)$.
Ce qui me permet d'obtenir des matrices, mais ce ne sont que des matrices de passages si j'ai bien compris.
Je me rend compte que je ne maîtrise pas du tout l'écriture de la matrice d'un endomorphisme dans ce genre de cas.
En fait je ne sais même pas écrire la matrice de $g$ dans la base de départ.
Merci.
[$\LaTeX$ fournit la commande \| pour obtenir $\|$. ;-) AD]
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Pour résumer on a un endomorphisme symétrique $g$ défini sur $H=Vect(u_1,u_2)$ par $g(x)=\left<x \mid u_{1} \right>u_2+\left<x \mid u_{2} \right>u_1$ où $u_1$ et $u_2$ sont 2 vecteurs libres d'un espace euclidien $E$ de dimension $n\geq 3$.
Il est demandé d'écrire la matrice de $g$ dans la base orthogonale $(\|u_2 \|u_1-\|u_1 \|u_2,\ \|u_2 \|u_1+\|u_1 \|u_2)=(v_1,v_2)$.
J'ai trouvé des relations entres ces vecteurs : $u_1=\dfrac{v_2+v_1}{2\| u_2\|}$ et $u_2=\dfrac{v_2-v_1}{2\| u_1\|}$.
Ainsi qu'entre les coordonnées $(a,b)$ d'un vecteur de $H$ dans la base $(u_1,u_2)$ et ses coordonnées $(\alpha,\beta)$ dans la base $(v_1,v_2)$ :
$(a=(\beta+\alpha)\|u_2\|,\ b=(\beta-\alpha)\|u_1\|)$ et $\Big(\alpha =\dfrac{a\|u_1\|-b\|u_2\|}{2\|u_1\|.\|u_2\|},\ \beta =\dfrac{a\|u_1\|+b\|u_2\|}{2\|u_1\|.\|u_2\|}\Big)$.
Ce qui me permet d'obtenir des matrices, mais ce ne sont que des matrices de passages si j'ai bien compris.
Je me rend compte que je ne maîtrise pas du tout l'écriture de la matrice d'un endomorphisme dans ce genre de cas.
En fait je ne sais même pas écrire la matrice de $g$ dans la base de départ.
Merci.
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Réponses
bon finalement j'ai repris la définition d'une matrice d'endomorphisme.
J'ai donc calculé $g(v_1)$ et $g(v_2)$ et j'ai trouvé une matrice sympathique : $$
\dfrac{1}{2\|u_1 \|.\|u_2\|}\begin{pmatrix}
-v_1^2 & 0\\
0 & v_2^2
\end{pmatrix}
$$ En espérant ne pas m'être trompé.
Etrange aussi que dans ta matrice il apparaisse $v_1$ et $v_2$, qui sont des vecteurs et non des nombres...
Revois tes définitions et montre tes calculs si besoin.
En notant $u'_k=\frac1{\|u_k\|}u_k$ et $v'_k=\frac1{\|u_1\|\cdot\|u_2\|}v_k$, voici un dessin de la situation. Comme $\|u'_1\|=\|u'_2\|$, on a des losanges partout (gris-bleu) ce qui explique l'orthogonalité de $v'_1$ et $v'_2$.
Edit : rectification de la figure (permutation de $v'_1$ et $v'_2$ et changement de signe).
merci pour vos confirmations.