Indice d'un groupe

$[\Z_K: \Z[\theta] ]$ divise $15$.

Mais cet indice est aussi l'ordre de $\Z_K/\Z[\theta]$ (groupe additif). Maintenant cela signifie que si $x\in \Z_K$, alors $15\cdot x \in \Z[\theta]$ (c'est le théorème de Lagrange: l'ordre -ici additif- d'un élément divise l'ordre du groupe - ici $\Z_K/\Z[\theta]$, donc divisant $15$-).

Finalement, on connait la forme des éléments de $\Z[\theta]$: il existe $a,b,c\in \Z$ tels que $15\cdot x = a+b\theta + c\theta^2$. Le reste s'ensuit