Incompréhension dans le cours

ardoise · June 2018

Hey Salut, je n'ai pas compris ces truc. Je n'arrive pas à comprendre, quelqu'un peut m'expliquer svp avec des images ou des exemples ou démonstrations.

1) L'application identité de E notée Id_E : x qui associe x, est un automorphisme de E.

2) Soit f un endomorphisme de E. Par convention, on pose f⁰=Id_E et pour tout entier naturel p non nul, on définit l'endomorphisme f^p par la relation : f^p= f^p-1 rond f.
Svp.
Pourquoi f⁰ ça donne Id_E ? Et après pourquoi pour f^p on n'a plus Id_E ?

michael · June 2018

Fais le parallèle avec la définition des puissances que tu as dû voir en 4ème :

pour tout réel $a$ (disons non nul pour éviter de lancer un marronnier), on pose $a^0 = 1$. Et pour tout entier naturel $p \geq 1$, $a^p = a \times ... \times a$ ($p$ facteurs), c'est-à-dire, $a^p = a \times a^{p-1}$.

Tu noteras que $1$ est l'élément neutre pour la multiplication usuelle et que $Id_E$ est l'élément neutre pour la loi de composition des applications.

Si on détaille un peu, pour $f$ un endomorphisme de $E$ :
$f^0= Id_E$
$f^1 = f \circ f^0 = f \circ Id_E = f$
$f^2 = f \circ f^1 = f \circ f$
$f^3 = f \circ f^2 = f \circ f \circ f$
etc.

Ça devrait te permettre de voir comment ça fonctionne.

Fin de partie · June 2018

Ardoise a écrit:

Et après pourquoi pour $f^p$ on n'a plus $Id_E$.

f endomorphisme de E (application de l'ensemble E dans lui-même
Si l'affirmation est: pour tout p entier naturel non nul $f^p$ n'est jamais $id_E$
C'est faux.
Dans certains cas on obtiendra $id_E$.

Si $f$ est bijective de E dans E on va noter sa fonction réciproque $f^ {-1}$.
Ce qui permet d'utiliser la notation puissance pour faire des calculs.
Et ce qui explique pourquoi on prend comme convention $f^0=Id_E$.
Puisque par analogie avec les puissances on voudrait que $f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\text{ élément neutre}$

ardoise · June 2018

Merci, j'ai pas compris c'est quoi Ide ? Quant y a écrit x qui associe x ça veut dire que l'application identité c'est quant un même élément s'associe? est-ce qu'on peut dire que 2 qui associe 2 ou encore e^x qui associe e^x est l'application ide ? Ou est-ce que Ide c'est la matrice identité ?
SVP concrètement Ide c'est quoi? Wallah je comprend que dalle

skilveg · June 2018

L'identité, c'est l'application qui renvoie exactement la même chose que ce qu'on lui donne en argument.

Un point de français : on dit "l'application qui à x associe y", pas "l'application x qui associe y".

ardoise · June 2018

Merci ;-)

ardoise · June 2018

Et aussi je n'ai pas compris l'endomorphisme f de E est diagonalisable ssi il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale, pareils vous pouvez expliquer avec des images, exemples ou démonstration. SVP

skilveg · June 2018

Quel est ton niveau exactement ?

Dom · June 2018

Pour te rassurer ou pas, je n'ai jamais su avec quoi démarrer comme définition de "diagonalisable" :
1) si et seulement si il existe une base dans laquelle la matrice est diagonale.
2) si et seulement si il existe une base de vecteurs propres.
3) certainement autre chose...

ardoise · June 2018

@skilveg bac+1
@Dom t'inquiète, je voudrais qu'on m'explique avec un exemple qui utilise ce théorème, ce sera mieux SVP.

skilveg · June 2018

Bac+1, ce n'est pas très précis... (quel bac ? quel +1 ?)

Je trouve la série de vidéos "Essence of linear algebra" assez bien faite, c'est en anglais mais il y a aussi des sous-titres français : peut-être que cela peut t'être utile. Le chapitre 10 parle d'éléments propres de matrices.

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