Plan stable par un endomorphisme

Yann Le Gac
Yann Le Gac
dans Algèbre
Bonjour à tous,

On se donne $E$ un espace de dimension $3$. On demande de montrer que $P$ est un plan stable par un endomorphisme $u$ si et seulement s'il existe $\lambda$ tel que $\text{im}(u-\lambda \text{Id}_E) \subset P$.

J'ai bien essayé de jouer sur les dimensions possibles de $ \text{im}(u-\lambda \text{Id}_E)$, mais c'est problématique si c'est de dimension $1$.


Quand au sens direct, je patauge!


Merci à tous

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Les choses s'éclairciront peut-être pour toi si tu vois le plan $P$ comme le noyau d'une forme linéaire non nulle (déterminée à un facteur scalaire non nul près).
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    ???

    Ca ne me dit rien… Je dois être fatigué...
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    Ca y est c'est monté au cerveau…!

    Si $P = \ker(\varphi)$, alors pour tout $x$ de $P$ on a $\varphi(u(x)) = \varphi(u(x)-\lambda x) + \lambda \varphi(x) = 0$ car $\text{im}(u-\lambda \text{Id}) \subset \ker(\varphi) $.
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    Pour la réciproque, si $P = \ker(\varphi)$, on choisit $\lambda = \varphi(v)$ où $\text{Vect}(v)$ est un supplémentaire de $P$. Cela doit fonctionner.

    Exercice très piégeux, on pense plus à la réduction au début !

    Bizarre qu'on le trouve dans une annale CCP PSI!
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ça m'étonnerait fort que ton idée fonctionne pour la réciproque, vu que ça n'impose absolument rien sur $\lambda$.
    Je partirais plutôt de $\ker(\varphi \circ u)\subset \ker(\varphi)$. Quand est-ce que le noyau d'une forme linéaire est contenu dans le noyau d'une autre forme linéaire ?
    Remarque : la dimension 3 ne sert à rien quand on utilise les formes linéaires (en se posant le problème des hyperplans stables).

    PS. On peut bricoler sans forme linéaire, en complétant une base de $P$ et en écrivant des matrices dans la base complétée.
  • Bbidule
    Bbidule
    On suppose que $P$ est $u$-stable.
    $P$ étant un plan de $E$ avec $E$ de dimension $3$, on dispose de deux vecteurs de $E$ $e_1$ et $e_2$ non colinéaires tels que $P = Vect(e_1,e_2)$
    La famille libre $(e_1,e_2)$ se complète en une base $(e_1,e_2,e_3)$ de $E$.
    $u$ étant un endomorphisme de $E$, on dispose de trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $u(e_3)=ae_1+be_2+ce_3$
    Ainsi, $u(e_3)-ce_3 = ae_1+be_2$
    Donc, $(u-cId_E)(e_3)$ appartient à $P$, car s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs $e_1$ et $e_2$.
    De plus, $u(e_2)-ce_2$ est un élément de $P$, comme combinaison linéaire de deux vecteurs de $P$ ($P$ étant $u$-stable et $e_2$ étant dans $P$, $u(e_2)\in P$).
    De même, $u(e_3)-ce_3\in P$
    Ainsi, l'image de tous les vecteurs de la base $(e_1,e_2,e_3)$ par $u-cId_E$ est un élément de $P$.
    Ainsi, $Im(u-cId_E)\subset P$
    Ainsi, on a bien montré l'existence d'un réel $c$ tel que $Im(u-cId_E)\subset P$.
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    Exact Bibule, et on retrouve la valeur de $c$ ou $\lambda$ par une forme linéaire.
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