Matrice de passage

j0j00l · June 2018

On considère les matrices

     1   8  -6             1   0   0   
A =  2  -1   0        B =  0   0  -1
    -3   3   1             0   1   0

Je dois trouver une matrice de passage de A à B

Je sais que je dois me servir de la formule B = P^-1 A P
Il me semble que je dois exprimer les vecteurs de B en fonction de ceux de A pour trouver P

Merci de votre aide.

ev · June 2018

Tu peux passer par l'intermédiaire d'une matrice diagonale.

e.v.

j0j00l · June 2018

A et B ont la même trace donc peuvent-être semblables ?!
Il faut diagonaliser A et B ?

Math Coss · June 2018

Il me semble que l'expression « les vecteurs de $B$ » n'a pas de sens.
Quoi qu'il en soit, il va être surhumain de trouver une matrice de passage $P$ telle que $B=P^{-1}AP$ dans la mesure où $A$ et $B$ n'ont pas le même déterminant.

j0j00l · June 2018

J'ai calculé et les 2 matrices ont pour déterminant 1

Math Coss · June 2018

D'accord, sauf pour $A$. Voyons avec la règle de Sarrus : \begin{align*}\det A&=1\times(-1)\times1+8\times0\times(-3) +(-6)\times2\times3 -(-3)\times(-1)\times(-6) -3\times0\times1-1\times2\times8\\
&=-1-36+18-16\\&=-35.\end{align*}

GaBuZoMeu · June 2018

Je parie que ta matrice $A$ n'est pas celle que tu as écrite, mais la matrice
$$A=\begin{pmatrix} 1&8&6\\2&-1&0\\-3&3&1\end{pmatrix}$$
Ai-je gagné mon pari ?

Sinon, passer par une matrice diagonale ne me semble pas une très bonne idée. On remarque que $B$ est une matrice de rotation. En considérant $A-I_3$ on trouve facilement une droite fixe et un plan stable pour $A$.

j0j00l · June 2018

Math coss, tu as surement dû faire une erreur de signe dans ton calcul, la calculatrice donne bien 1

GaBuZoMeu, la matrice que j'ai écrite est bien celle sur mon énoncé, en revanche il se peut que l'énoncé ait une petite erreur de signe

GaBuZoMeu · June 2018

Si tu trouves 1 à la calculatrice, c'est que la matrice que tu as rentrée dans ta calculatrice n'est pas celle que tu as écrite. Une nouvelle fois, vérifie le signe du coefficient en première ligne et troisième colonne.

Math Coss · June 2018

GaBuZoMeu, tu as essayé tous les changements de signe ou seulement constaté que celui-ci « marchait » ? Comment ? parce qu'il changeait le signe de $-36$ et de $+18$ ?

j0j00l · June 2018

J'ai écris la matrice énoncé au début de ce sujet sur ma calculatrice mais bref on peut faire Sarrus si tu veux
Det(A)=1*(-1)-2*(8-18)+3*(-6)=1

GaBuZoMeu · June 2018

Bah, c'était assez évident en voyant les 1, 36, 18 et 16 qui sortent de la règle de Sarrus, non ?
PS. @j0j00l : tu devrais revoir ta règle de Sarrus. Tu as fait deux erreurs de signe.

Math Coss · June 2018

Avec la matrice qui est écrite, que tu pourrais au moins vérifier, je calcule\[\det A=1\times(-1)-2\times(8+18)-3\times(-6)=-35.\] Les faits sont têtus. Au passage, ceci n'est pas vraiment la règle de Sarrus mais un développement par rapport à la première colonne.

PS : je copie-peste :

     1   8  -6             1   0   0   
A =  2  -1   0        B =  0   0  -1
    -3   3   1             0   1   0

j0j00l · June 2018

Si tu calcules le déterminant de la matrice que j'ai énoncé au debut tu trouves 1 et les deux erreurs de signe comme tu dis c'est le -6 que tu remplaces avec un 6 dans la matrice que tu as énoncé.

GaBuZoMeu · June 2018

Tu es vraiment têtu comme une mule et incapable de reconnaître tes erreurs. 76984

Rescassol · June 2018

Bonjour,

Matlab et moi confirmons que la matrice donnée au début a un déterminant égal à $-35$.

M=[1 8 -6; 2 -1 0; -3 3 1];
det(M)

Résultat:

-35

Cordialement,

Rescassol

michael · June 2018

j0j00l, la règle de Sarrus pour une matrice $M = \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{pmatrix}$ nous dit que $det(M) = aek + dhc + bfg - gec - dbk - hfa$.

Dès lors, je te laisse faire le calcul avec $a=-1, \, b=8, \, c=-6, \, d=2, \, e=-1, \, f=0, \, g=-3, \, h=3, \, k=1$, tu verras que tu trouves bien $-35$ comme ne cessent de te le répéter les autres intervenants.

Matrice de passage

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