Régularité de l'exponentielle matricielle
Bonjour,
Je suis à la recherche d'une preuve que la fonction exponentielle matricielle est de classe C infini.
La plupart des ressources que j'ai trouvées sur internet me renvoient vers les livres de Lafontaine et Rouvière, mais malheureusement ces deux livres ne sont pas disponibles à la bibliothèque de mon université.
Si quelqu'un a une idée d'une ressource que je pourrais trouver sur internet, avec la démonstration détaillée de la proposition dont j'ai besoin, je lui serai reconnaissant.
Je vous remercie d'avance.
Cordialement
Je suis à la recherche d'une preuve que la fonction exponentielle matricielle est de classe C infini.
La plupart des ressources que j'ai trouvées sur internet me renvoient vers les livres de Lafontaine et Rouvière, mais malheureusement ces deux livres ne sont pas disponibles à la bibliothèque de mon université.
Si quelqu'un a une idée d'une ressource que je pourrais trouver sur internet, avec la démonstration détaillée de la proposition dont j'ai besoin, je lui serai reconnaissant.
Je vous remercie d'avance.
Cordialement
Réponses
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C'est parfois fait en à la fin d'un développement d'agreg où on montre le fait que si $(f_n)_n$ est une suite de fonctions de classe $\mathcal C^1$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^N$, convergeant simplement sur $U$ vers $f$ (on peut affaiblir cette hypothèse) et telle que les différentielles $(D_{f_n})_n$ convergent uniformément sur tout compact de $U$ alors $f$ est de classe $\mathcal C^1$ et se différentielle est donnée par la limite des $D_{f_n}$. Il doit en exister des versions tapées ou photocopiées en ligne.
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On fait la version $N=1$ du théorème mentionné par Poirot en spé (MP) et je pense que la preuve s'adapte sans souci, donc tu peux aussi chercher du côté des cours de prépa
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$$d\big(\exp(M)\big)(H)=\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n!} \underbrace{\big[HM^{n-1}+MHM^{n-2}+\ldots +M^{n-1} H\big]}_{n\text{ termes}} $$
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