Racines de polynômes et derivées
dans Algèbre
Bonjour à tous,
je travaille en autodidacte le manuel de J. Dixmier "Cours de mathématiques du premier cycle" et bloque sur la partie c) de l'exercice suivant:
Soit P = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn dans R[X].
a) pour que le polynôme P soit divisible par (x - 1)(k+1), il faut et il suffit que P' soit divisible par (x - 1)k et que P(1) = 0.
b) Soit P(1) = 0. Pour que le polynôme P soit divisible par (x - 1)(k+1), il faut et il suffit que P1 = nP - XP' soit divisible par (x - 1)k
c) Déduire de a) et b) que la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme P soit divisible par (x - 1)(k+1) est que l'on ait
a0 + a1 + a2 + ... + an = 0
a1 + 2a2 + a2 + ... + nan = 0
....
a1 + 2ka2 + a2 + ... + nkan = 0
J'ai pu prouver les parties a) et b) mais je sèche sur la partie c).
Je vois bien que les 2 premières égalités correspondent à P(1) = 0 et P`(1) = 0 mais bloque sur le reste. Vote aide serait très appréciée. Merci d'avance
je travaille en autodidacte le manuel de J. Dixmier "Cours de mathématiques du premier cycle" et bloque sur la partie c) de l'exercice suivant:
Soit P = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn dans R[X].
a) pour que le polynôme P soit divisible par (x - 1)(k+1), il faut et il suffit que P' soit divisible par (x - 1)k et que P(1) = 0.
b) Soit P(1) = 0. Pour que le polynôme P soit divisible par (x - 1)(k+1), il faut et il suffit que P1 = nP - XP' soit divisible par (x - 1)k
c) Déduire de a) et b) que la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme P soit divisible par (x - 1)(k+1) est que l'on ait
a0 + a1 + a2 + ... + an = 0
a1 + 2a2 + a2 + ... + nan = 0
....
a1 + 2ka2 + a2 + ... + nkan = 0
J'ai pu prouver les parties a) et b) mais je sèche sur la partie c).
Je vois bien que les 2 premières égalités correspondent à P(1) = 0 et P`(1) = 0 mais bloque sur le reste. Vote aide serait très appréciée. Merci d'avance
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Réponses
Ta remarque (« les deux premières égalités correspondent à $P(1)=0$ et $P'(1)=0$ ») permet de traiter les cas $k=0$ et $k=1$.
On fixe $k$ et on suppose$H_k$. On fixe $P=\sum_{j=0}^na_jX^j$. D'après b, on introduit $P_1=nP-XP'$. As-tu calculé ses coefficients $(b_j)_{0\le j\le n-1}$ en fonction de ceux de $P$ ? On écrit la CNS pour que $P_1$ soit divisible par $(X-1)^k$ et la condition $P(1)=0$. Puis on fait une récurrence sur $\ell$ pour montrer que $\sum_{j=0}^nj^\ell a_j=0$. La condition $P(1)=0$ donne le cas $\ell=0$, etc.