Racines de polynômes et derivées

FinanzMaths · June 2018

Bonjour à tous,

je travaille en autodidacte le manuel de J. Dixmier "Cours de mathématiques du premier cycle" et bloque sur la partie c) de l'exercice suivant:

Soit P = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ dans R[X].

a) pour que le polynôme P soit divisible par (x - 1)^(k+1), il faut et il suffit que P' soit divisible par (x - 1)^k et que P(1) = 0.

b) Soit P(1) = 0. Pour que le polynôme P soit divisible par (x - 1)^(k+1), il faut et il suffit que P₁ = nP - XP' soit divisible par (x - 1)^k

c) Déduire de a) et b) que la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme P soit divisible par (x - 1)^(k+1) est que l'on ait

a₀ + a₁ + a₂ + ... + a_n = 0
a₁ + 2a₂ + a₂ + ... + na_n = 0
....
a₁ + 2^ka₂ + a₂ + ... + n^ka_n = 0

J'ai pu prouver les parties a) et b) mais je sèche sur la partie c).

Je vois bien que les 2 premières égalités correspondent à P(1) = 0 et P`(1) = 0 mais bloque sur le reste. Vote aide serait très appréciée. Merci d'avance

Math Coss · June 2018

On montre par récurrence sur $k$ la propriété $H_k$ : pour tout polynôme $P=\sum_{j=0}^na_jX^j$\[(X-1)^k\mid P \iff \forall \ell\in\{0,\dots,k\},\ \sum_{j=0}^nj^\ell a_j=0.\]
Ta remarque (« les deux premières égalités correspondent à $P(1)=0$ et $P'(1)=0$ ») permet de traiter les cas $k=0$ et $k=1$.

On fixe $k$ et on suppose$H_k$. On fixe $P=\sum_{j=0}^na_jX^j$. D'après b, on introduit $P_1=nP-XP'$. As-tu calculé ses coefficients $(b_j)_{0\le j\le n-1}$ en fonction de ceux de $P$ ? On écrit la CNS pour que $P_1$ soit divisible par $(X-1)^k$ et la condition $P(1)=0$. Puis on fait une récurrence sur $\ell$ pour montrer que $\sum_{j=0}^nj^\ell a_j=0$. La condition $P(1)=0$ donne le cas $\ell=0$, etc.

FinanzMaths · June 2018

merci beaucoup pour cette suggestion!!

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