Produit tensoriel d'anneaux
Bonjour,
Soit $A$ et $B$ deux anneaux non nécessairement commutatifs, si l'on a un morphisme d'anneaux de $A$ dans $B$, est-ce que l'on peut définir le produit tensoriel $B \otimes_{\phi} A$ ?
Est-ce qu'on le définit à partir du $A$-module libre engendré par les couples $(b,a)$ (une base de ce module étant les éléments de la forme $e_{(b,a)}$), et en quotientant par $a'e_{(b,a)}=e_{(\phi(a')b,a)}=e_{(b,a'a)}$.
Ou bien est-ce que l'on quotiente par $a'e_{(b,a)}=e_{(b,a'a)}=e_{(b\phi(a'),a)}$.
Il y a aussi les relations d'addition bien sûr.
Dans les deux cas, il me semble que l'image de $A$ dans $B \otimes_{\phi} A$ est un anneau commutatif, car $1\otimes aa'=(aa')(1\otimes 1)=a(a'(1\otimes 1))=a(\phi(a')\otimes 1)=\phi(a')\otimes a=a'(1\otimes a)=1 \otimes a'a$.
Or l'image de $A$ dans $B$ n'est pas un anneau commutatif nécessairement. Donc on n'a pas nécessairement $B=B \otimes_{\phi} A$.
Comment définir le produit tensoriel de ces deux anneaux non commutatifs si l'on veut: $B=B \otimes_{\phi} A$.
Merci d'avance.
Soit $A$ et $B$ deux anneaux non nécessairement commutatifs, si l'on a un morphisme d'anneaux de $A$ dans $B$, est-ce que l'on peut définir le produit tensoriel $B \otimes_{\phi} A$ ?
Est-ce qu'on le définit à partir du $A$-module libre engendré par les couples $(b,a)$ (une base de ce module étant les éléments de la forme $e_{(b,a)}$), et en quotientant par $a'e_{(b,a)}=e_{(\phi(a')b,a)}=e_{(b,a'a)}$.
Ou bien est-ce que l'on quotiente par $a'e_{(b,a)}=e_{(b,a'a)}=e_{(b\phi(a'),a)}$.
Il y a aussi les relations d'addition bien sûr.
Dans les deux cas, il me semble que l'image de $A$ dans $B \otimes_{\phi} A$ est un anneau commutatif, car $1\otimes aa'=(aa')(1\otimes 1)=a(a'(1\otimes 1))=a(\phi(a')\otimes 1)=\phi(a')\otimes a=a'(1\otimes a)=1 \otimes a'a$.
Or l'image de $A$ dans $B$ n'est pas un anneau commutatif nécessairement. Donc on n'a pas nécessairement $B=B \otimes_{\phi} A$.
Comment définir le produit tensoriel de ces deux anneaux non commutatifs si l'on veut: $B=B \otimes_{\phi} A$.
Merci d'avance.
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Réponses
Si $N$ est par exemple un $(A,C)$-bimodule pour un anneau $C$, c'est-à-dire un $A$-module à gauche et un $C$-module à droite de sorte que $(an)c=a(nc)$, alors $M\otimes_AN$ est un $C$-module à droite. Idem si $M$ est un $(B,A)$-bimodule, tu obtiens un $B$-module à gauche. Les deux constructions sont compatibles : si $M$ et $N$ sont des bimodules, $M\otimes_AN$ est un $(B,C)$-bimodule.
De façon générale, si $M$ est un $A$-module à droite, $M\otimes_AA$ est canoniquement isomorphe à $M$, essentiellement parce que toute somme $\sum m_i\otimes a_i$ se récrit $\bigl(\sum m_ia_i\bigr)\otimes1$.
Si $\phi:A\to B$ est un morphisme d'anneaux, alors on peut faire de $B$ un $(A,A)$-bimodule. À gauche, pour $a\in A$ et $b\in B$, on définit $a\cdot b=\phi(a)b$ ; à droite, $b\cdot a=b\phi(a)$. Je dirais que le produit tensoriel $B\otimes_\phi A$ que tu veux construire, ce n'est jamais que $B$ vu comme $A$-module à droite : pas très utile ?
En revanche, avec $\phi:A\to B$, ce qui est utile, c'est de prendre un $A$-module à gauche $N$ et de regarder $B\otimes_AN$ : on obtient ainsi un $B$-module à gauche avec de jolies propriétés. C'est une façon de voir l'induction dans les groupes finis (entre autres).
$$e_{(b\phi(a'),a)}\sim e_{(b,a'a)}$$
PS. Pas rafraichi pour voir que Math Coss avait déjà dit ça.