Produit tensoriel d'anneaux

Je crois que le produit tensoriel n'est pas très bien défini. De même, le produit tensoriel de deux bimodules sur un anneau non-commutatif. Par contre, si on prend de produits tensoriels sur un sous-corps commutatif $K'$ d'un corps gauche $K$, on peut considérer des espaces vectoriels $E= K \otimes_{K'} E'$, avec $E'$ un $K'$-ev et on peut définir $E \otimes_K F$ car $K\otimes_K K=K$.

Pour des modules sur un anneau $A$ non commutatif, si tu veux considérer un produit tensoriel $M\otimes_A N$, il vaut bien mieux que $M$ soit un module à droite et $N$ un module à gauche. Si on part du module libre sur les symboles $e_{m,n}$ ($m\in M$, $n\in N$), on identifie $e_{ma,n}$ et $e_{m,an}$ pour $a\in A$ (plus les relations « additives »). Ce que l'on obtient est a priori un groupe abélien.

Si $N$ est par exemple un $(A,C)$-bimodule pour un anneau $C$, c'est-à-dire un $A$-module à gauche et un $C$-module à droite de sorte que $(an)c=a(nc)$, alors $M\otimes_AN$ est un $C$-module à droite. Idem si $M$ est un $(B,A)$-bimodule, tu obtiens un $B$-module à gauche. Les deux constructions sont compatibles : si $M$ et $N$ sont des bimodules, $M\otimes_AN$ est un $(B,C)$-bimodule.

De façon générale, si $M$ est un $A$-module à droite, $M\otimes_AA$ est canoniquement isomorphe à $M$, essentiellement parce que toute somme $\sum m_i\otimes a_i$ se récrit $\bigl(\sum m_ia_i\bigr)\otimes1$.

Si $\phi:A\to B$ est un morphisme d'anneaux, alors on peut faire de $B$ un $(A,A)$-bimodule. À gauche, pour $a\in A$ et $b\in B$, on définit $a\cdot b=\phi(a)b$ ; à droite, $b\cdot a=b\phi(a)$. Je dirais que le produit tensoriel $B\otimes_\phi A$ que tu veux construire, ce n'est jamais que $B$ vu comme $A$-module à droite : pas très utile ?

En revanche, avec $\phi:A\to B$, ce qui est utile, c'est de prendre un $A$-module à gauche $N$ et de regarder $B\otimes_AN$ : on obtient ainsi un $B$-module à gauche avec de jolies propriétés. C'est une façon de voir l'induction dans les groupes finis (entre autres).