Automorphismes de $\mathfrak S_n$
Bonjour,
Il y a plusieurs méthodes pour montrer que les automorphismes de $\mathfrak S_n$ sont intérieurs pour $n \neq 6$. Je le fais par dénombrement et je me demande si mon début de démonstration est juste.
Voici ce que j'ai rédigé.
Soit $\phi$ un automorphisme de $\mathfrak S_n$.
Notons $T_k$ l'ensemble des permutations de $\mathfrak S_n$ qui sont produit d'exactement $k$ transpositions à supports disjoints.
Montrons qu'il existe $k$ tel que $\phi(T_1)=T_k$.
Soit $\tau \in T_1$. Alors $\phi(\tau)$ est d'ordre $2$ donc il existe $k$ tel que $\phi(\tau) \in T_k$.
On a $T_1=O_{\tau}=\{ \sigma \tau \sigma^{-1}, \sigma \in \mathfrak S_n \}$ et $T_k=O_{\phi(\tau)}$ puisque deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont la même structure orbitale.
Soit $\tau_1 \in T_1$. Il existe $\sigma \in \mathfrak S_n$ tel que $\tau_1=\sigma \tau \sigma^{-1}$. Donc $\phi(\tau)=\phi(\sigma) \phi(\tau) \phi(\sigma)^{-1} \in T_k$.
Donc $\phi(T_1) \subset T_k$.
Soit $s \in T_k$. Il existe $\sigma \in \mathfrak S_n$ tel que $s=\sigma \phi(\tau) \sigma^{-1}$ et $\phi$ étant une bijection, il existe $\sigma_1 \in \mathfrak S_n$ tel que $\sigma=\phi(\sigma_1)$. Donc $s=\phi(\sigma_1 \tau \sigma_1^{-1}) \in \phi(T_1)$.
Donc $\phi(T_1)=T_k$.
À partir de là, je sais conclure en montrant que nécessairement $k=1$. Est-ce que $T_k$ est bien défini dans ma démonstration ? J'ai l'impression qu'il dépend de la transposition $\tau$ considérée au départ. Faut-il montrer que ce $k$ est indépendant de la transposition choisie au départ ? Ou le fait d'obtenir que $\phi(\tau_1) \in T_k$ pour tout $\tau_1 \in T_1$ justifie la bonne définition de $k$ ?
Merci pour votre aide.
Il y a plusieurs méthodes pour montrer que les automorphismes de $\mathfrak S_n$ sont intérieurs pour $n \neq 6$. Je le fais par dénombrement et je me demande si mon début de démonstration est juste.
Voici ce que j'ai rédigé.
Soit $\phi$ un automorphisme de $\mathfrak S_n$.
Notons $T_k$ l'ensemble des permutations de $\mathfrak S_n$ qui sont produit d'exactement $k$ transpositions à supports disjoints.
Montrons qu'il existe $k$ tel que $\phi(T_1)=T_k$.
Soit $\tau \in T_1$. Alors $\phi(\tau)$ est d'ordre $2$ donc il existe $k$ tel que $\phi(\tau) \in T_k$.
On a $T_1=O_{\tau}=\{ \sigma \tau \sigma^{-1}, \sigma \in \mathfrak S_n \}$ et $T_k=O_{\phi(\tau)}$ puisque deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont la même structure orbitale.
Soit $\tau_1 \in T_1$. Il existe $\sigma \in \mathfrak S_n$ tel que $\tau_1=\sigma \tau \sigma^{-1}$. Donc $\phi(\tau)=\phi(\sigma) \phi(\tau) \phi(\sigma)^{-1} \in T_k$.
Donc $\phi(T_1) \subset T_k$.
Soit $s \in T_k$. Il existe $\sigma \in \mathfrak S_n$ tel que $s=\sigma \phi(\tau) \sigma^{-1}$ et $\phi$ étant une bijection, il existe $\sigma_1 \in \mathfrak S_n$ tel que $\sigma=\phi(\sigma_1)$. Donc $s=\phi(\sigma_1 \tau \sigma_1^{-1}) \in \phi(T_1)$.
Donc $\phi(T_1)=T_k$.
À partir de là, je sais conclure en montrant que nécessairement $k=1$. Est-ce que $T_k$ est bien défini dans ma démonstration ? J'ai l'impression qu'il dépend de la transposition $\tau$ considérée au départ. Faut-il montrer que ce $k$ est indépendant de la transposition choisie au départ ? Ou le fait d'obtenir que $\phi(\tau_1) \in T_k$ pour tout $\tau_1 \in T_1$ justifie la bonne définition de $k$ ?
Merci pour votre aide.
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Réponses
À partir de là, tu sais conclure ? Ça me paraît la partie pénible : je me dis que normalement, il n'y a pas de raison d'avoir une égalité $|T_k|=|T_{k'}|$ pour $k\ne k'$ et puis on m'a montré que $|T_1|=|T_3|$ si $n=6$ et à partir de là, tout semble possible !
Pour la suite, en supposant que $k \neq 1$ et en utilisant $|T_1|=|T_k|$, on obtient une contradiction.
L'argument : « je choisis $\tau$, ça définit $k$, je montre que $\phi(T_1)\subset T_k$ » entraîne que $k$ ne dépend pas du $\tau$ initial. Tu as précisément montré que l'image d'une autre transposition $\tau1$ appartenait au même $T_k$. (En termes imagés, ce n'est pas comme si le groupe $T_1$ choisissait sa destination par $\phi$ en imitant avec force bêlements ce que son leader $\tau$ (désigné au suffrage aléatoire) a décidé de faire.)