Algèbre de Lie d'un groupe fini

Bonjour,
Je partage juste des idées que j'ai eues suite à une remarque un peu obscure, et le but de ce post est de voir un peu quelle partie de ce que je raconte est n'importe quoi, quelle partie est intéressante; et éventuellement d'avoir des références qui m'aideraient à en savoir plus (c'est donc surtout cette dernière partie qui m'intéresse)

La remarque obscure en question: "pour généraliser les algèbres de Lie des groupes de Lie, tu prends juste $G(k[\epsilon]) \simeq G(k)\ltimes \mathfrak{g}$ où $k[\epsilon] = k[X]/(X^2)$ et $\epsilon$ est la classe de $X$; comme ça tu peux faire un développement de Taylor à l'ordre $1$ exact"

Je comprends très bien la partie sur $\epsilon$; c'est sur le reste que ma question porte.
On m'avait donné comme exemples $G(k)= GL_n(k), SL_n(k)$.

Je suis donc parti sur la réflexion suivante : soit $P$ un polynôme à coefficients entiers (ou dans un anneau $A$ et alors on ne considère que les $A$-algèbres - d'ailleurs j'en profite pour dire que dans la suite quand je dirai anneau; j'entendrai "anneau unitaire commutatif") à $n^2$ variables tel que pour tout anneau $R$, $\{M \in GL_n(R) \mid P(M) = 0\}$ est un sous-groupe de $GL_n(R)$ (ici $P(M)$ est l'évaluation du polynôme $P$ en les coefficients de $M$, rien à voir avec les polynômes d'endomorphismes évidemment). Par exemple $P = \det -1$ (je remarque en me relisant que je ne peux pas obtenir $GL_n$ de cette manière, sauf à prendre un polynôme à coefficients dans $R$ et à prendre $R$ uniquement un corps fini... cela ne me dérange pas tant que ça mais je me demande si on peut faire mieux... sûrement en prenant une union et en demandant que ce soit l'union qui soit un sous-groupe ? )

Je définis alors $G_P(R)$ comme étant ce sous-groupe.

Soit $R$ un anneau et je reprends la notation de la remarque pour $\epsilon$. Alors pour $M\in M_n(R[\epsilon])$, $P(M) = P(M_0) + \epsilon p(M)$ pour un certain $p(M) \in R$ par un "développement de Taylor exact à l'ordre $1$" , où $M_0$ est l'image de $M$ par le morphisme envoyant $\epsilon$ sur $0$(si je ne me trompe pas, j'ai plus l'habitude de ce développement lorsqu'on est en une variable, mais la formule de Taylor est valable quand on est à plusieurs variables me semble-t-il - tout le reste est faux si ça ne l'est pas)

En particulier si $P(M) = 0$, $P(M_0) = 0$ aussi. En particulier $M\mapsto M_0$ va de $G_P(R[\epsilon])$ dans $G_P(R)$ (car il est clair que si $M\in GL_n(R[\epsilon])$, alors $M_0\in GL_n(R)$). On a donc une suite exacte $1\to \mathrm{Ker}(\epsilon = 0) \to G_P(R[\epsilon]) \to G_P(R) \to 1$. Cette suite est de plus clairement scindée car $R$ est un sous-anneau de $R[\epsilon]$.

Donc $G_P(R[\epsilon])\simeq G_P(R) \ltimes \mathrm{Ker}(\epsilon = 0)$.

Regardons maintenant $\mathrm{Ker}(\epsilon = 0)$: il s'agit des matrices de la forme $I_n+\epsilon M$, $M\in M_n(R)$ qui sont aussi dans $G_P(R[\epsilon])$. Un calcul rapide montre que $\{M, I_n + \epsilon M \in G_P(R[\epsilon])\}$ est un sous-groupe additif de $M_n(R)$; et il est clairement isomorphe à $\mathrm{Ker}(\epsilon=0)$; et c'est celui-ci que j'ai envie de noter $\mathfrak{g}_P(R)$.

On a $G_P(R[\epsilon])\simeq G_P(R)\ltimes \mathfrak{g}_P(R)$.

Pour pouvoir parler d'algèbre de Lie, il me faut encore le fait que ce soit en fait un $R$-module, et il me faut un crochet. Si je ne me suis pas gourré sur mon développement de Taylor, le fait que ce soit un sous-$R$-module de $M_n(R)$ est immédiat (et si je me suis trompé; il est certain qu'en imposant une condition d'homogénéité sur les dérivées de $P$, on obtient ce fait-là)

Il me manque cependant le crochet de Lie sur mon $\mathfrak{g}_P$ ! Qui est-il, d'où vient-il ?

Après réflexion je devrais prendre $P$ une famille de polynômes, et $G_P(R)$ l'union des $G_f(R)$, $f\in P$, en demandant que ce soit un sous-groupe de $GL_n(R)$: tout ce que j'ai fait semble marcher dans ce cadre.

Ayant fait ça, je peux déjà voir que je ne me suis pas trompé pour des familles connues de polynômes: si je prends $P=\{\det - 1\}$ par exemple et $R = \R$, j'obtiens assez facilement $\mathfrak{g}_P(\R) = \mathfrak{sl}_n(\R)$, c'est-à-dire les matrices de trace nulle (et ceci marche plus généralement pour $R$ quelconque, mais on n'a pas le formalisme des groupes de Lie pour nous dire que c'est bien); ou en fixant le $A$ de base comme étant $\R$ j'obtiens, pour $P= \{\det- a, a\in \R^\times\}$, $G_P(\R) = GL_n(\R)$ et $\mathfrak{g}_P(\R)=M_n(R)$ (à nouveau c'est vrai pour tout $R$, mais on n'a pas les groupes de Lie...)

Il doit y avoir un moyen de vérifier de manière générale que ça marche pour tous les sous-groupes de Lie "algébriques" de $GL_n(\R)$ (je mets des guillemets parce qu'il y a un vrai sens au mot "groupe algébrique" que je ne maîtrise pas totalement).

Donc voilà ce que j'aimerais savoir :
Est-ce que je raconte n'importe quoi ?
comment récupérer le crochet ?
Où trouver plus d'informations à ce sujet ? (Et quelle est la bonne notion, plutôt que mon lourd $G_P$ ? Y a-t-il de moyen de prendre un groupe donné $G$ et de dire "voici son algèbre de Lie" ?)