Extension de corps

SuperPatateman
SuperPatateman
dans Algèbre
Bonjour,
Je me pose les questions suivantes concernant les extensions de corps :
Soit $[L : K]$ une extension de corps de degré $d$ et $a$ un élément algébrique sur $K$.
- Il est clair que $[L(a) : K(a) ] \leq d$ mais a t'on nécessairement que $[L(a) : K(a) ]$ divise $d$ ?
- Si $M$ est un corps intermédiaire entre $K(a)$ et $L(a)$ alors est il forcément de la forme $H(a)$ où $H$ est un corps intermédiaire entre $K$ et $L$ ?

Je pense que les réponses sont non pour les deux questions mais je n'arrive pas à trouver de contre exemple. Si quelqu'un a une piste je suis preneur, merci d'avance

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Comme $a$ est algébrique sur $K$, il est algébrique sur $L$, et son polynôme minimal sur $L$ divise son polynôme minimal sur $K$, donc $l_a:=[L(a):L]$ divise $k_a:=[K(a):K]$ (EDIT : en fait non). Maintenant, $$[L(a):K(a)] = \frac{[L(a):K]}{[K(a):K]} = \frac{[L(a):L][L:K]}{[K(a):K]} = \frac{l_a d}{k_a}$$ d'où l'on tire que $[L(a):K(a)]$ divise bien $d$ !
  • JLT
    JLT
    Prends $K=\Q$, $a=\sqrt[3]{2}$ et $L=\Q(j\sqrt[3]{2})$ alors $[L:K]=3$ et $[L(a):K(a)]=2$.
  • SuperPatateman
    SuperPatateman
    Merci pour vos réponses !
  • SuperPatateman
    SuperPatateman
    Par contre Poirot sauf si je me trompe ton argument est faux. Le fait que le polynôme minimal de $a$ sur $L$ divise le polynôme minimal de $a$ sur $K$ n'implique pas que $l_a$ divise $k_a$ en général.
  • SuperPatateman
    SuperPatateman
    Bonjour, en suivant l'exemple de JLT il me semble qu'on peut montrer que la réponse pour ma seconde question est aussi non. Si on prend $K = \mathbb{Q}$ et $L = \mathbb{Q}( \zeta_5 \sqrt[5]{2})$ (où $\zeta_5$ est une racine primitive $5$-ème de l'unité) et $a= \sqrt[5]{2}$. Alors $[L : K] = 5$ donc il n'existe pas d'extension intermédiaire entre $K$ et $L$. L'extension $L(a)$ sur $K(a)$ est galoisienne de degré $4$ et de groupe de galois $\frac{\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}$, il existe donc une extension intermédiaire $M$ entre $K(a)$ et $L(a)$ de degré 2 sur $K(a)$ et une telle extension ne peut être de la forme souhaitée.
  • Poirot
    Poirot
    Oui je suis allé trop vite avec mes degrés de polynômes, mea culpa !
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