Distance minimale à un sous espace vectoriel.

Halback · June 2018

Bonjour à tous,
dans un exercice il est demandé de calculer $\min\limits_{f\in F_n}\|h-f\|^2 $ où $f$ et $h$ sont deux fonctions continues $2\pi$ périodiques sur $\mathbb R$ avec en plus $h$ paire telle que $h=-x+\pi$ sur $[0,\pi]$ et $F_n=Vect\big((f_k)_{0 \leq k \leq n}\big)$ où $f_k=\cos(kx)$.

Avec le produit scalaire $\left<f,g \right>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(t)g(t)dt}$

J'ai cherché une base orthonormée pour $F_n$ et j'ai trouvé $(\frac {1}{\sqrt{2}}, f_1,f_2,...)$.

J'ai essayé d'évaluer la projection de $h$ sur $F_n$ en calculant tous les $\left<h,f_k \right>$ mais pour $k$ non nul je me retrouve avec une condition de parité sur $k$ : $\left<h,f_k \right>=\begin{cases}
0 & \text{si } k \text{ est pair}\\
\frac{4}{k^2\pi} & \text{si } k \text{ est impair}.
\end{cases}$
Cela m'oblige à considérer la parité de $n$ et à évaluer $\displaystyle \sum_{k=0}^{p}{\frac{1}{(2k+1)^2}}$ ce que je ne sais pas faire.

Enfin tout cela me parait assez long donc je me demande si je ne me suis pas trompé quelque part ?

Maxtimax · June 2018

ça ne te plait pas comme expression, $\displaystyle\sum \frac{1}{(2k+1)^2}$ ? (je n'ai pas vérifié les calculs pour savoir si tu as fait une erreur ou pas; mais ce que tu racontes semble cohérent; je m'étonne simplement que cette expression ne te plaise pas, même si tu ne sais pas la calculer "explicitement" - d'ailleurs tu ne peux pas le faire comme tu l'espères sûrement parce que cette somme tend vers un mutliple rationnel de $\zeta(2)$ )

Halback · June 2018

Je connais la somme infinie qui vaut $\frac{\pi^2}{8}$ mais effectivement je m’attendais à trouver une réponse, certes en fonction de $n$, mais sans $\Sigma$. Donc oui, "explicitement".

Halback · June 2018

Zut, je crois que je me suis trompé, je vais tout reprendre...

Halback · June 2018

Finalement je trouve : $\displaystyle \min_{f\in F_n}\|h-f||^2=\|h\|^2-\sum_{k=0}^{n}{\left<h,g_k \right>^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{16}{\pi^2}\sum_{k=0}^{p}{\frac{1}{(2k+1)^4}},$
où $p=\begin{cases}
\frac{n-1}{2} & \text{si } n\text{ est impair}\\
\frac{n-2}{2} & \text{sinon}
\end{cases}$

[$\LaTeX$ fournit l'environnement cases. (souris sur l'expression > Clic droit > Afficher sous forme > Commande Tex). AD]

Distance minimale à un sous espace vectoriel.

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