On veut un corps dont le cardinal est le continu, tel que tout élément a une racine $n$-ème pour tout entier $n>0$ et que la seule racine de l'unité soit $1$.
@GaBuZoMeu : Je ne sais pas si tu voulais le dire, mais ta condition nécessaire est également suffisante : en effet, tout groupe abélien dont tout élément a des "racines $n$-èmes" pour tout $n > 0$ ("divisibles") et qui sont sans torsion sont des $\mathbb{Q}$-espaces vectoriels, qui sont isomorphes s'ils ont la même dimension. Or toute base d'un groupe abélien divisible sans torsion qui a la puissance du continu (comme $\mathbb{R}$ et le groupe des inversibles de ce fameux corps) doit elle-même avoir la puissance du continu. Bref, tout corps qui vérifie ta condition marche.
1°) La caractéristique $2$, c'est justement à cause de la condition que la seule racine de l'unité soit $1$; en particulier on ne veut pas de $-1\neq 1$.
2°) Le corps des séries de Puiseux en $t$ sur $\mathbb F_2$ ne marche pas : quelle serait la racine carrée de $1+t$ dans ce corps ?
Ah ouais ! Je n'ai pas l'habitude de séries de Puiseux en caractéristique positive. Tu as une référence pour le fait que toute série formelle de la forme $1+tS$ a une racine $n$-ème pour tout entier $n>0$ (dans le corps des séries de Puiseux), en caractéristique positive ?
PS. Ah oui, je vois, pas besoin de référence. Pour une série à coefficients dans $\mathbb F_p$ : $(1+t^{1/p}S(t^{1/p}))^p=1+tS(t)$.
Réponses
2°) Le corps des séries de Puiseux en $t$ sur $\mathbb F_2$ ne marche pas : quelle serait la racine carrée de $1+t$ dans ce corps ?
PS. Ah oui, je vois, pas besoin de référence. Pour une série à coefficients dans $\mathbb F_p$ : $(1+t^{1/p}S(t^{1/p}))^p=1+tS(t)$.