Fermat complexe
dans Algèbre
Bonsoir,
un petit exercice : montrer qu'il n'existe pas $z \in \C$, $|z|=1$ et $(1+z)^{2n}=1+z^{2n}$. (ou trouver $z$)
Bon courage.
un petit exercice : montrer qu'il n'existe pas $z \in \C$, $|z|=1$ et $(1+z)^{2n}=1+z^{2n}$. (ou trouver $z$)
Bon courage.
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Réponses
Effectivement c’est assez difficile. Voici ce que je propose :
On exclut $n=0$ qui n’a pas de solution.
On a $|z|=1$ et donc $z=\exp(i x)$ avec $-\pi <x\leq \pi$. On reporte dans l’équation et on utilise les demi-angles : $2^{2n-1} \cos^{2n} ( x/2)=\cos (nx).$
Le membre de droite doit être positif. L’équation est paire en $x$. Donc on peut se restreindre à $0\leq x\leq\pi/2$ donc $\cos(n x) \geq 2^{n-1}$ puisque $1/\sqrt{2} \leq \cos (x/2)\leq 1$ Contradiction.
Parité donc on peut supposer $0\leq x\leq \pi$.
$\cos(n x)\geq 0$ donc $nx \leq \pi/2 +2k \pi$ donc $x \leq \pi/(2n) \leq \pi/2$.
Voilà !
$2k\pi/n-\pi/(2n) \leq x \leq 2k \pi/n+\pi/(2n)$, donc on ne peut pas déduire $x \leq \frac{\pi}{2}$
Si $n=2$, l'équation s'écrit $f(x)=8\cos^4(x/2)-\cos(2x)=0$, et $f(0)=7$, et $f(\pi)=-1$, donc il y a une solution entre $0$ et $\pi$.
On résout $(1+z)^4=1+z^4$, ce qui donne $4z+6z^2+4z^3=0$, c'est-à-dire $1+\frac{3}{2}z+z^2=0$. Donc $z=\frac{-3+i\sqrt{7}}{4}$ ou le conjugué. $z$ est bien de norme $1$, car $3^2+7=4^2$.
Pour tout $n$ pair non nul, il y a une solution, car l'équation est $g(x)=2^{2n-1}\cos^{2n}(x/2)-\cos(nx)=0$, et $g(0)=2^{2n-1}-1$ et $g(\pi)=-1$, donc il y a une solution entre $0$ et $\pi$.
J’ai confondu $\exists$ et $\forall$ : il faut le faire... sans doute une carence en vitamines.