Ordre du groupe des unités

Indications pour la question 1) :
On remarque que $A$ est de caractéristique $2$. En notant $\mathbf{F}_2$ le sous-corps premier de $A$, on peut considérer un certain morphisme $\mathbf{F}_2[X]\longrightarrow A$.

Pour la question 2) (je suis moins sûr de mes réponses), on peut généraliser le résultat pour $|A^\times|=p$ où $p$ est un nombre premier $\ge 5$. Il faut peut-être aussi regarder du côté des entiers de la forme $p^\alpha$.

Merci pour la référence, noix de totos.

Edit : laissez tomber, ça ne marche pas...

Une solution dans le cas où $|A^{\times}|$ est un nombre premier $\ge 5$ et $p$ n'est pas un nombre de Mersenne :

Le groupe $A^\times$ est d'ordre $p$, donc $(-1)^p=1$ et $A$ est de caractéristique $2$. L'ordre de $A^{\times}$ est un nombre premier, donc c'est un groupe cyclique. Soit $\alpha$ un générateur de $A^{\times}$. Le noyau du morphisme d'évaluation en $\alpha$ est un idéal principal $(P)$ de $\mathbf{F}_2[X]$ contenant $(X^p-1)$. Le polynôme $P$ est un diviseur du produit $X^p-1=(X-1)\Phi_p$ où $X-1$ et le polynôme cyclotomique $\Phi_p$ sont irréductibles sur $\mathbf{F}_2$ (il faudrait détailler ce point), donc $P$ est associé (et même égal en fait puisqu'on est sur $\mathbf{F}_2$) à l'un des quatre polynômes suivants :
$$ 1,X-1,\Phi_p,X^p-1 $$

L'évaluation étant un morphisme non trivial, le cas $P=1$ est exclus. L'égalité $P=X-1$ n'est pas vérifiée car $\mathbf{F}_2[\alpha]$ et $\mathbf{F}_2$ ne sont pas isomorphes : $\mathbf{F}_2[\alpha]$ contient, par exemple, toutes les puissances de $\alpha$. Les deux cas restants donnent respectivement les isomorphismes $\mathbf{F}_2[\alpha]\cong\mathbf{F}_{2^{p-1}}$ et $\mathbf{F}_2[\alpha]\cong\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_{2^{p-1}}$ (on utilise le théorème des restes chinois pour le dernier cas). En passant aux groupes des inversibles, on obtient $(\mathbf{F}_2[\alpha])^{\times}\cong (\mathbf{F}_{2^{p-1}})^{\times}$. Mais $(\mathbf{F}_2[\alpha])^{\times}$ est un sous-groupe de $A^{\times}$, donc son ordre $2^{p-1}-1$ divise $p$ et ceci est impossible vu que $2^{p-1}-1>p$ pour $p\ge 5$.

Un truc marrant vu sur MSE : quand l'anneau $A$ est supposé intègre, les valeurs finies prises par $|A^{\times}|$ sont exactement les puissances de nombres premiers moins $1$ : https://math.stackexchange.com/questions/2285115/how-big-can-the-set-of-units-of-an-integral-domain-with-mathbf1-neq-mathbf. On voit que tous les anneaux intègres rentrent dans le point 2. du théorème 8 p. 5 dans le document que tu as fourni.

Edit : merci pour la correction, Maxtimax.

Bon, mon argument tombe à l'eau finalement... L'irréductibilité de $\Phi_p$ sur $\mathbf{F}_2$ est équivalente au fait que $2$ est une racine primitive de l'unité dans $\mathbf{F}_p$ et ça a l'air non trivial : http://gettysburgmath.org/~keir/research/papers/mp-2r.pdf.

Quand $\Phi_p$ est irréductible, on a nécessairement que $p$ n'est pas un nombre premier de Mersenne, mais ce qu'il nous faut, c'est une condition suffisante d'irréductibilité.