Un morphisme surjectif ?

Tu voulais écrire $q\longmapsto (x\mapsto qxq^{-1})$ ?
Oui, l'application $\mathbb P^3(\mathbb R)\to \mathrm{SO}(3)(\mathbb R)$ est bien un isomorphisme birégulier défini sur $\mathbb Q$. Concrètement, si tu as une matrice de rotation $R$, tu peux retrouver un quaternion $t+u\mathbf i+v\mathbf j+w\mathbf k$ comme
$$t=1+\mathrm{tr}(R),\ u=R_{3,2}-R_{2,3},\
v=R_{1,3}-R_{3,1},\
w=R_{2,1}-R_{1,2}$$
si $\mathrm{tr}(R)\neq -1$, et à partir d'un vecteur fixe de $R$ si $\mathrm{tr}(R)= -1$ (cas d'un demi-tour).