Sur les multi-indices.

Bonjour tous,
je rencontre un petit problème de formalisme lié à l'utilisation des multi-indices. Je vous l'expose.

Un entier $n$ étant fixé, je note
-$\mathcal{I}_k$ l'ensemble des $k$-uplets $(i_1,i_2,\ldots,i_k)$ avec $i_1<i_2<\cdots<i_k$
-pour un élément $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ de $\mathbb{R}^n$ et $I \in \mathcal{I}_k$, je note $x_I=x_{i_1}\times x_{i_2} \times\cdots\times x_{i_k}$
-$\mathcal{I}_k^j$ désigne l'ensemble des éléments de $\mathcal{I}_k$ dont le support contient un entier $j$ et $\overline{\mathcal{I}_k^j}$ désigne le complémentaire de cet ensemble dans $\mathcal{I}_k$

J'aimerais montrer que $$
\sum_{j=1}^n \sum_{ I \in \overline{\mathcal{I}_k^j}} x_jx_I = (k+1) \sum_{I \in \mathcal{I}_{k+1}} x_I
$$ L'idée est que pour tout mult-indice $I=(i_1,\ldots,i_{k+1})$ de $\mathcal{I}_{k+1}$, on peut écrire $X_I$ sous la forme $x_{i_p} x_{I_p}$ avec $I_p=(i_1,\ldots,i_{p-1},i_{p+1},\ldots ,i_{k+1}) \in $ $\overline{\mathcal{I}_k^{i_k}}$. Chaque terme de la somme de droite apparaît donc exactement $k+1$ fois dans la somme de gauche.
Cette égalité me semble donc en un sens évidente, mais je ne parviens pas à la démontrer utilisant un formalisme qui me satisfasse.

D'avance merci
Bonne journée
Fred