Projection orthogonale et série de Fourier
dans Algèbre
[Titre initial : Projection orthogonale et Série de fourier
Pourquoi accordes-tu une majuscule à Série et refuses-tu celle de Joseph Fourier (1768-1830) ? :-S AD]
Bonjour
Ma question est est-ce qu'il existe f(x) tel que Pr(Pr(f(x))=f(-x) /Pr est la projection orthogonale ?
Je pose cette question dans le cadre de l'analyse de [large]F[/large]ourier en considérant les coefficients Cn comme la projection orthogonale de f(x) sur la base e^(inx) sachant que le produit scalaire <f,g>=integralede(fxg), Cn représente en même temps la transformé de [large]F[/large]ourier qui est l'amplitude de chaque e^(inx) .
J'essaye de trouver une explication intuitive au fait que la double transformée de [large]F[/large]ourier nous ramène à f(-x), géométriquement je n'arrive pas à imaginer une fonction dont la projection de la projection va nous ramener vers la fonction de départ, si M est la matrice de la projection on a M^2=-ID , est-ce que cela a un sens ? Ou bien je me trompe quelque part ?
Merci.
Pourquoi accordes-tu une majuscule à Série et refuses-tu celle de Joseph Fourier (1768-1830) ? :-S AD]
Bonjour
Ma question est est-ce qu'il existe f(x) tel que Pr(Pr(f(x))=f(-x) /Pr est la projection orthogonale ?
Je pose cette question dans le cadre de l'analyse de [large]F[/large]ourier en considérant les coefficients Cn comme la projection orthogonale de f(x) sur la base e^(inx) sachant que le produit scalaire <f,g>=integralede(fxg), Cn représente en même temps la transformé de [large]F[/large]ourier qui est l'amplitude de chaque e^(inx) .
J'essaye de trouver une explication intuitive au fait que la double transformée de [large]F[/large]ourier nous ramène à f(-x), géométriquement je n'arrive pas à imaginer une fonction dont la projection de la projection va nous ramener vers la fonction de départ, si M est la matrice de la projection on a M^2=-ID , est-ce que cela a un sens ? Ou bien je me trompe quelque part ?
Merci.
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Réponses
Une projection, ça fait perdre de l'information : on projette sur un espace $F$ parallèlement à un espace $G$ ; tous les éléments de $G$ sont envoyés sur le vecteur nul (la fonction nulle).
La transformation de Fourier est une isométrie (il faudrait préciser entre quels espaces) : la seule fonction qui a une transformée de Fourier nulle, c'est la fonction nulle. Ça ne se comporte pas du tout comme une projection.
Une projection, c'est idempotent : la répéter deux fois, c'est la même chose que la faire une seule fois ($p\circ p=p$). Il n'est pas possible de revenir en arrière (il n'y a pas d'opération inverse). La transformée de Fourier n'est pas idempotente, elle est presque involutive : elle est (presque) sa propre opération inverse (il faudrait d'ailleurs préciser sur quel espace...).
Bref, la transformation de Fourier ressemble bien plus à une symétrie qu'à une projection.
je pense qu'il confond la série de Fourier de $f$ et la série partielle, qui elle est bien la projection de $f$ sur un sous espace.
De plus contrairement à la série de [large]F[/large]ourier (infinie) d'une fonction $f$, qui dans les bonnes conditions, est égale à $f$. La transformée de Fourier diffère en général de $f$.
Bonne journée
F.
[En toute occasion Joseph Fourier (1768-1830) prend une majuscule ! AD]
Merci pour votres réponse . On a f(x) =Somme(Cn.e(int)) / e(int) base orthogonale , Cn =(1/T) .intégrale0,T(f.e(-int).dt qui n'est autre que le produit scalaire de f et e(int) c'est donc la projection de f sur e(int) , la transformée de Fourier TF(f)=intégrale-?,+?(f.g.dt) = T.Cn / pour T tend vers l'infini (fonction apériodique ) voila Merci.
Et tu sembles confondre la transformée de Fourier avec la décomposition en série de Fourier. Même s'il y a un lien, il s'agit de tout autre chose.
Donc il ne reste pas grand chose à comprendre par ce moyen : Il ne parle même pas de la TF.
Cordialement.
D'une part, il y a le développement en série de Fourier d'une fonction périodique (disons de période $2\pi$). Pour tout $n\in\N$, on a la somme partielle $S_n(f)=\sum_{k=-n}^nc_n(f)\mathrm{e}_n$, où $c_n(f)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nt}\mathrm{d}t$ et $\mathrm{e}_n:t\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}nt}$. Il est vrai que pour tout $n$, l'application $f\mapsto S_n(f)$ est la projection orthogonale de $f$ sur l'espace engendré par $(\mathrm{e}_{-n},\mathrm{e}_{-n+1},\dots,\mathrm{e}_{n})$. Mais ces applications ne sont pas du tout la transformation de Fourier.
Pour compléter, « dans les bons cas », on a des égalités du genre $f=\lim_{n\to\infty}S_n(f)$ (au sens $L^2$, pour la convergence simple, pour la convergence normale, you name it). Autrement dit, on n'a pas de transformation ici, puisque l'on retrouve $f$. Ce qui est une transformation, c'est l'application qui à la fonction $f$ associe la suite $(c_k)_{k\in\Z}$ mais ça, ça n'a rien d'une projection.
D'autre part, il y a la transformation de Fourier, qui s'applique aux fonctions quelconques (intégrables) et qui n'a rien d'une projection.
Dire que la transformation de Fourier est une projection, c'est un peu comme dire que Jean-Pierre Gagnaire, ambulancier à Roche-la-Molière, transforme les légumes crus et la viande en plats, sous prétexte que Pierre Gagnaire le fait.
Merci Math Coss pour votre explication , mais puisque T.Cn(f)=TF(f)(n) / T--> infini / n=2pif / gérard dit que chaque coefficient est une projection c'est ce que je pense aussi mais vous dites que ça n'a rien d'une projection , pouvez vous m'expliquer pourquoi ? Cn(f) = <f,eint> produit scalaire ici et 1/T.integrale(f.eint)
tu as vraiment du mal à comprendre ce qui t'est dit. Math Coss ne dit pas le contraire de ce que j'ai dit. Ce que tu écris n'a pas trop de sens. Tu pourrais faire des phrases claires, sinon on finira par ne plus te répondre.
Analogie : on se place dans $\R^2$ euclidien standard, on écrit les coordonnées dans la base canonique $(e_1,e_2)$. On prend un vecteur $v=(x,y)$. La projection orthogonale de $v$ sur l'axe des abscisses, qui n'est autre que $\mathrm{vect}(e_1)$, c'est $xe_1$ et pas $x=\langle v,e_1\rangle$.
(NB : la somme $\sum_{k=-n}^np_k$ est la projection $S_n$ qui définit la somme partielle. Mais ni les $p_k$, ni les $S_n$ ne sont la transformation de Fourier.)
Ensuite, tu évoques un procédé de limite assez douteux et à la fin, tu identifies la limite d'un coefficient (qui n'est pas une projection de $f$ et qui dépend d'un paramètre entier) avec la transformée de Fourier (qui est une fonction qui devrait dépendre d'un paramètre réel). Entre-temps, la fonction $f$ qui était périodique, on ne sait plus trop qui elle est devenue. Et ce méli-mélo, ça te donne l'impression que la transformation de Fourier est une projection ?!