Inversibilité d'une matrice rectangulaire
Bonjour,
pour démontrer qu'un inverse à gauche est un inverse à droite pour une matrice carrée on peut faire ainsi.
Soit f l'endomorphisme de Mn(R) qui à X associe AX, f injective car Ker f = singleton 0 car f(X)=O implique X=O (en multipliant par l'inverse à gauche de A, notons le donc f surjective car endomorphisme en dimension finie donc il existe C tel que AC=In or C=(BA)C=B(AC)=B donc AB=In
OK et on dit souvent que pour les matrices rectangulaires un inverse à droite n'est pas forcément un inverse à gauche or ici, j'ai l'impression que si on remplace Mn(R) par Mn,p(R) on obtient exactement la même démonstration
Mais ceci est faux puisqu'en vérifiant rien qu'en taille 2,1 on a une multitude de contre-exemples
Ma question est : où dans cette démonstration utilise-ton le caractère "carré" ?
Merci
pour démontrer qu'un inverse à gauche est un inverse à droite pour une matrice carrée on peut faire ainsi.
Soit f l'endomorphisme de Mn(R) qui à X associe AX, f injective car Ker f = singleton 0 car f(X)=O implique X=O (en multipliant par l'inverse à gauche de A, notons le donc f surjective car endomorphisme en dimension finie donc il existe C tel que AC=In or C=(BA)C=B(AC)=B donc AB=In
OK et on dit souvent que pour les matrices rectangulaires un inverse à droite n'est pas forcément un inverse à gauche or ici, j'ai l'impression que si on remplace Mn(R) par Mn,p(R) on obtient exactement la même démonstration
Mais ceci est faux puisqu'en vérifiant rien qu'en taille 2,1 on a une multitude de contre-exemples
Ma question est : où dans cette démonstration utilise-ton le caractère "carré" ?
Merci
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Réponses
edit : je serais curieux de savoir si ma dernière affirmation est correcte.
Ce que tu peux faire pour traquer l'hypothèse $n=p$, c'est partir d'une matrice $2\times1$, par exemple $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et voir ligne à ligne quelles assertions sont vraies ou fausses.
La plus belle des matrices invisibles est la matrice à zéro ligne et zéro colonne. C'est une matrice carrée, à la fois nulle et inversible, de déterminant $1$.
Soit n et p et q 3 entiers naturels non nuls (pour répondre à la blague de GabuzoMeu, évidemment c'est une erreur de frappe)
Si A est une matrice à n lignes et p colonnes et qu'il existe une matrice B à q lignes et n colonnes tel que BA=In alors AB=In
Merci mathscross de ce conseil d'écrire proprement puisque le produit est AB est impossible, question bête...
je parle bien sûr en toute généralité donc q et n non nécessairement égaux
PS. Ce que j'ai écrit sur les matrices invisibles n'est absolument pas une blague. Tout est vrai !
Je ne remets pas en cause votre expertise mais plutôt votre sincérité, vs saviez très bien que ce n'était pas mon propos que de parler de matrice invisible
\begin{pmatrix}*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}*&*&*\\*&*&*\\*&*&*\end{pmatrix}\end{array}\]