Inversibilité d'une matrice rectangulaire

jp59 · June 2018

Bonjour,
pour démontrer qu'un inverse à gauche est un inverse à droite pour une matrice carrée on peut faire ainsi.

Soit f l'endomorphisme de Mn(R) qui à X associe AX, f injective car Ker f = singleton 0 car f(X)=O implique X=O (en multipliant par l'inverse à gauche de A, notons le

donc f surjective car endomorphisme en dimension finie donc il existe C tel que AC=In or C=(BA)C=B(AC)=B donc AB=In

OK et on dit souvent que pour les matrices rectangulaires un inverse à droite n'est pas forcément un inverse à gauche or ici, j'ai l'impression que si on remplace Mn(R) par Mn,p(R) on obtient exactement la même démonstration
Mais ceci est faux puisqu'en vérifiant rien qu'en taille 2,1 on a une multitude de contre-exemples
Ma question est : où dans cette démonstration utilise-ton le caractère "carré" ?

Merci

Boole et Bill · June 2018

Si une matrice non carrée possède un inverse à droite, ce ne peut pas être un inverse à gauche car on ne peut pas les multiplier.

Boole et Bill · June 2018

De plus, la matrice d'un endomorphisme est toujours carrée il me semble.

edit : je serais curieux de savoir si ma dernière affirmation est correcte.

Math Coss · June 2018

Écris précisément l'assertion que tu penses pouvoir démontrer. Qui sont $n$ et $p$, quelle hypothèse sur $A$ ?

Ce que tu peux faire pour traquer l'hypothèse $n=p$, c'est partir d'une matrice $2\times1$, par exemple $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et voir ligne à ligne quelles assertions sont vraies ou fausses.

Math Coss · June 2018

@Boole et Bill : Si $A$ est une matrice de taille $n\times p$ qui admet un inverse à gauche $B$ de taille $p\times n$, c'est-à-dire telle que $BA=I_{p}$. Alors $AB$ est une matrice bien définie de taille $n\times n$.

Boole et Bill · June 2018

@Math Coss Ok merci. Et pour la matrice d'endomorphisme?

Math Coss · June 2018

Oui, la matrice d'un endomorphisme est carrée. Pour un endomorphisme, l'espace de départ et l'espace d'arrivée ont la même dimension puisqu'ils sont égaux. Or le nombre de colonnes de la matrice d'un endomorphisme est égal à la dimension de l'espace de départ (il y a une colonne par vecteur de la base de départ) et le nombre de lignes est la dimension de l'espace d'arrivée (chaque colonne est la colonne des coordonnées de l'image d'un vecteur : il y a un coefficient par vecteur de la base de l'espace d'arrivée).

GaBuZoMeu · June 2018

Titre intéressant ... qu'est-ce qu'une matrice invisible ? Allons je tente une définition : une matrice invisible est une matrice qui a zéro ligne, ou zéro colonne. Il est difficile de distinguer la matrice à 0 ligne et 3 colonnes de la matrice à 4 lignes et 0 colonne, mais pourtant ce sont des matrices tout à fait différentes. Toute matrice invisible à 0 ligne a un inverse à droite, toute matrice invisible à 0 colonne a un inverse à gauche.
La plus belle des matrices invisibles est la matrice à zéro ligne et zéro colonne. C'est une matrice carrée, à la fois nulle et inversible, de déterminant $1$.

jp59 · June 2018

MathsCross voici l'assertion que je pense pouvoir démontrer

Soit n et p et q 3 entiers naturels non nuls (pour répondre à la blague de GabuzoMeu, évidemment c'est une erreur de frappe)

Si A est une matrice à n lignes et p colonnes et qu'il existe une matrice B à q lignes et n colonnes tel que BA=In alors AB=In

Merci mathscross de ce conseil d'écrire proprement puisque le produit est AB est impossible, question bête...
je parle bien sûr en toute généralité donc q et n non nécessairement égaux

GaBuZoMeu · June 2018

Si $B$ est une matrice à $q$ lignes et $n$ colonnes et si $A$ est une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes, quelle est la taille du produit $BA$ ? Si on suppose $BA=I_n$, qu'est-ce que ça impose sur les entiers $q,n,p$ ?

PS. Ce que j'ai écrit sur les matrices invisibles n'est absolument pas une blague. Tout est vrai !

jp59 · June 2018

BA est de taille q lignes et p colonnes, ah oui... et si BA=In alors q=p=n

Je ne remets pas en cause votre expertise mais plutôt votre sincérité, vs saviez très bien que ce n'était pas mon propos que de parler de matrice invisible

Math Coss · June 2018

Tu vas un peu vite en besogne. Ce n'est pas parce que le produit de deux matrices rectangulaires est carré que chaque matrice est carrée.\[\begin{array}{cc}&\begin{pmatrix}*&*&*\\*&*&*\\*&*&*\\*&*&*\\*&*&*\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}*&*&*\\*&*&*\\*&*&*\end{pmatrix}\end{array}\]