Problème de tangente à une courbe

Revenons aux définitions. Pour trouver la pente de la tangente au graphe de la fonction $f$ au point $(a,f(a))$, on étudie la limite, quand $x$ tend vers $a$, de
$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\;.$$
Ici $a=f(a)=0$.

Tu as fait une coquille dans l'écriture de $f(x)/x$.
Mais c'est vrai, la pente de la tangente est infinie. Autrement dit, la tangente est verticale. Ça arrive, c'est la vie !

Wikipedia, bof !

Pour essayer de clarifier un peu, que la pente soit définie ou non n'est pas bien important (ça dépend si on accepte « infini » comme valeur possible d'une pente ; si oui, on n'est plus dans $\R$, donc attention si on fait des calculs avec). Ce que l'on demande, c'est la tangente au point d'abscisse 0, si elle existe, c'est-à-dire une droite — pas un réel. Ici, la réponse est oui et le calcul de limite que tu as fait montre que c'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées (précisément, c'est l'axe des ordonnées). Du point de vue du plan, c'est une droite comme les autres, tout va bien. :-)