Dualité et base duale
Bonjour
En révisant mon cours sur la dualité, un problème s'est posé concernant les bases duales.
Partant d'une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $\mathbb{R}^n$, je sais déterminer sa base duale.
Mais j'en suis incapable pour $\mathbb{R}_n [X]$, par exemple pour $(1,X,X^2)$, une base de de $\mathbb{R}_2 [X]$.
Je sais que que je dois trouver $(e_1^*,e_2^*,e_3^*)$ des formes linéaires, tq:
$\forall i, j \in \left\{1,2,3\right\}, \ e_i^*(e_j) = \delta_{i, j}$
Mais n'ayant pas d'expression explicite pour $e_i^*$ comme c'est le cas pour les applications dans $\mathbb{R}^n$, je me retrouve bloqué.
Si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance.
En révisant mon cours sur la dualité, un problème s'est posé concernant les bases duales.
Partant d'une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $\mathbb{R}^n$, je sais déterminer sa base duale.
Mais j'en suis incapable pour $\mathbb{R}_n [X]$, par exemple pour $(1,X,X^2)$, une base de de $\mathbb{R}_2 [X]$.
Je sais que que je dois trouver $(e_1^*,e_2^*,e_3^*)$ des formes linéaires, tq:
$\forall i, j \in \left\{1,2,3\right\}, \ e_i^*(e_j) = \delta_{i, j}$
Mais n'ayant pas d'expression explicite pour $e_i^*$ comme c'est le cas pour les applications dans $\mathbb{R}^n$, je me retrouve bloqué.
Si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance.
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Réponses
Est-ce que :
"Pour tout $j$, pour tout $v$, $e^*_j(v) := \lambda_j$ si $v = \sum^n_{i = 1} \lambda_i e_i$"
n'est pas explicite ? Sous quelle forme attends-tu la réponse ?
As-tu essayé de voir ce que peut donner l'image du polynôme : $X \mapsto aX^2 + bX + c$ par chacun des éléments que l'on note $e_i^*$ ?
On est aidé, parfois, avec le fait que la base duale est "tout simplement" l'application coordonnée dans la base de départ.
Quand tu auras un peu mieux compris à quoi ressemblent les formes linéaires sur ce genre d'espaces (de dimension finie) de polynôme, il peut être intéressant d'interpréter la formule de Taylor dans ce cadre :-)
Pour illustrer mon propos, je vais prendre des exemples :
Plaçons nous dans $\mathbb{R}^2$ avec comme base : $\textit{B} = ( \, (2,3) ; (4,8) \, )$. Soit $(f_1 , f_2) $ sa base duale.
Je sais qu'on peut exprimer $\begin{array}{ccccc}
f_i & : & \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R} \\
& & (x , y) & \mapsto & a_ix + b_iy \\
\end{array}$
avec $a_i \in \mathbb{R}$ pour $ i \in \left\{1 , 2 \right\} $
En résolvant $f_i (e_j) = \delta_{i, j}$, on trouve facilement :
$f_1 (x,y) = 2x - y $ et $f_2 (x,y) = -\dfrac{3}{4} x + \dfrac{1}{2} y $
Sur l'espace vectoriel $ \mathbb{R} ^n$, une forme linéaire s'écrit $\forall x \in \mathbb{R} ^n \, f(x) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i $ et donc en prenant une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\mathbb{R} ^n$, et sa base duale $(f_i, \ldots, f_n)$, on a $\forall i, j \in \left\{1, \ldots , n\right\} \, f_i (e_j) = \delta_ {i, j} $. On obtient donc pour chaque $f_i \:$, $n$ équations à $n$ inconnues que l'on peut résoudre et déterminer ainsi les $\lambda_i$.
Pour en revenir aux polynômes, si on se place dans $\mathbb{R} _1 [X] $ avec comme base $ \textit{B} = (3, 2X + 1) $, en procédant par "tâtonnement", j'ai pu trouver la base duale $(f_1, f_2)$ avec :
$f_1 (P) = \dfrac{1}{3} P(-\dfrac{1}{2})$ et $f_2 (P) = \dfrac{3}{4} \displaystyle \int_{-1}^{1} X P(X) \, dX$
Mais pour $\mathbb{R} _2 [X]$, impossible de trouver, je me demandais s'il n'y avait pas une "méthode générale" pour $\mathbb{R} _n [X]$, ou si on pouvait adapter celle sur $\mathbb{R} ^n$ .
Malgré mes efforts, partant d'une base quelconque de $\mathbb{R}_2 [X]$, $(3 , 2X+5, X^2 + 5)$ par exemple, je n'arrive pas à déterminer sa base duale.
Si vous pouviez m'aider.
on a une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots , e_n)$ d'un espace vectoriel $E$. On choisit un produit scalaire $<~,~>$ sur $E$. On orthonormalise $\mathcal{B}$ en une base $\mathcal{B}'$ orthonomée pour ce produit scalaire.
On prend un élément $x$ de $E$. On calcule facilement ses coordonnées sur $\mathcal{B}'$, puis on passe dans $\mathcal{B}$.
Du coup, suivant le produit scalaire que l'on choisit, on pourra avoir des expressions différentes (mais toujours égales par unicité de la base duale).
> Malgré mes efforts, partant d'une base quelconque
> de $\mathbb{R}_2 [X]$, $(3 , 2X+5, X^2 + 5)$ par
> exemple, je n'arrive pas à déterminer sa base
> duale.
On part d'un polynôme $P=aX^2+bX+c$. Les formes linéaires $P\mapsto c$, $P\mapsto b$, $P\mapsto a$ sont les formes linéaires coordonnées dans la base $(1,X,X^2)$ ; ces trois formes linéaires forment donc la base duale de la base $(1,X,X^2)$.
Pour trouver la base duale de la base $(3 , 2X+5, X^2+5)$, il faut et il suffit de trouver les formes linéaires coordonnées dans cette base, c.-à-d. écrire
$$aX^2+bX+c = u\,3 + v\,(2X+5)+ w\,(X^2+5)$$
où $u,v,w$ sont des formes linéaires en $a,b,c$. Tu sauras sans aucun doute calculer ces formes linéaires.