Système d'équations non linéaires
Bonjour
S'il vous plaît , aidez-moi à résoudre ce système à 4 inconnues ($x, y ,z, t$) :
$-a xy -( b+c )x+bz+c =0 $
$ a xy -( b+c +d)y+bt=0 $
$ -a zt -( b+c )z+bx+c =0 $
$a zt -( b+c+d )t+by=0 $
$a $ , $b$ , $c$ et $d$ sont des constantes positives.
Merci d'avance pour vos réponses.
S'il vous plaît , aidez-moi à résoudre ce système à 4 inconnues ($x, y ,z, t$) :
$-a xy -( b+c )x+bz+c =0 $
$ a xy -( b+c +d)y+bt=0 $
$ -a zt -( b+c )z+bx+c =0 $
$a zt -( b+c+d )t+by=0 $
$a $ , $b$ , $c$ et $d$ sont des constantes positives.
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Réponses
Si b est non nul, z et t s'écrivent à l'aide de x et y dans les deux premières équations. En substituant, on obtient un système de deux équations à deux inconnues..
Mais si j'en crois mon logiciel de calcul formel il y a des solutions simples ( pour x=z et y=t par exemple) et une autre très compliquée(*). Pourquoi vouloir résoudre ce système ?
Cordialement.
(*) tu auras besoin de connaître le signe de -4+c^2*d^4+4*a^2*c^3*b+4*a^2*b^2*c^2+4*c^2*b*d*a^2+20*d^2*b*c^2*a+16*d^2*b^4+16*d^3*b^3+a^2*c^4+2*a*c^5+80*c^2*b^3*d+72*c^3*b^2*d+32*c*b^4*d+76*c^2*b^2*d^2+64*d^2*b^3*c+32*d^3*b^2*c+36*c^3*d^2*b+20*c^2*d^3*b+4*c*d^4*b+28*c^4*d*b+16*a*c*b^3*d+28*a*c^3*d*b+16*d^2*b^2*c*a+4*d^3*b*c*a+40*a*c^2*b^2*d+8*c^5*b+24*c^3*b^2*a+12*c^4*b*a+16*c^2*b^3*a+2*a^2*c^3*d+a^2*d^2*c^2+32*c^3*b^3+24*c^4*b^2+6*a*c^4*d+6*a*c^3*d^2+2*a*c^2*d^3+4*c^3*d^3+4*c^5*d+16*c^2*b^4+c^6+6*c^4*d^2+4*d^4*b^2
Par différence et factorisation...
$t=y, x=z$ et discussion sur les paramètres.
Cordialement
.
Deux solutions où x=z et y=t
{y = 0, x = 1, t = 0, z = 1},{x = (c+d)/a, t = c*(-c+a-d)/a/(c+d), y = c*(-c+a-d)/a/(c+d), z = (c+d)/a}
puis une troisième ( et/ou quatrième qui dépend de la résolution d'une équation du second degré, voir la présence de "RootOf( ..), toujours la même), bien plus compliquée :
{z = RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)/a, y = -(-2*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*a*c*b+2*a*c*b*d+a*c^2*d-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*a*c^2-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*c*b*d-2*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*b^2*d+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+2*d^2*b^2+2*c^2*b*d+6*d*b^2*c+2*a*c*b^2+3*a*c^2*b+d^2*b*c+a*c^3)/(2*c*b+c*d+c^2+d*b)/a/RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2), t = -b*(-2*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*a*c*b+2*a*c*b*d+a*c^2*d-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*a*c^2-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*c*b*d-2*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*b^2*d+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+2*d^2*b^2+2*c^2*b*d+6*d*b^2*c+2*a*c*b^2+3*a*c^2*b+d^2*b*c+a*c^3)/(2*c*b+c*d+c^2+d*b)/a/RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)/(-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)+b+c+d), x = (2*c*b+2*d*b-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*b+c^2+2*c*d-c*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*d+d^2)/(-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)+b+c+d)/a}
Eh oui, ce n'est pas très agréable !
A moins que la méthode de YvesM simplifie le problème ...
Cordialement.
Néanmoins j'ai pu obtenir les deux premières solutions à la main.
ça revient à ce que propose Maple, mais la résolution reste complexe. Si ça peut servir à Yeo ...
Cordialement.
On retrouve une équation analogue dans le document de GaBuZoMeu, les 6 dernières lignes à partir du 4c²b²d, le discriminant n'est pas élémentaire ...
Cordialement.
@YEO : RootOf ça veut dire "racine de". Et le _Z est une variable muette, la variable de l'équation dont RootOf désigne une racine.
Cordialement.
Etant donné un tel système, est-il possible que deux solutions soient stables à la fois ? ( en fait je me propose d'étudier la stabilité de la solution qu'a donné gerard0 avec les paramètres ) .
$\frac{dx}{dt}= -a xy -( b+c )x+bz+c $
$ \frac{dy}{dt}=a xy -( b+c +d)y+bt $
$ \frac{dz}{dt}=-a zt -( b+c )z+bx+c $
$\frac{dt}{d}=a zt -( b+c+d )t+by $