Système d'équations non linéaires
Bonjour
S'il vous plaît , aidez-moi à résoudre ce système à 4 inconnues ($x, y ,z, t$) :
$-a xy -( b+c )x+bz+c =0 $
$ a xy -( b+c +d)y+bt=0 $
$ -a zt -( b+c )z+bx+c =0 $
$a zt -( b+c+d )t+by=0 $
$a $ , $b$ , $c$ et $d$ sont des constantes positives.
Merci d'avance pour vos réponses.
S'il vous plaît , aidez-moi à résoudre ce système à 4 inconnues ($x, y ,z, t$) :
$-a xy -( b+c )x+bz+c =0 $
$ a xy -( b+c +d)y+bt=0 $
$ -a zt -( b+c )z+bx+c =0 $
$a zt -( b+c+d )t+by=0 $
$a $ , $b$ , $c$ et $d$ sont des constantes positives.
Merci d'avance pour vos réponses.
Réponses
-
Bonjour.
Si b est non nul, z et t s'écrivent à l'aide de x et y dans les deux premières équations. En substituant, on obtient un système de deux équations à deux inconnues..
Mais si j'en crois mon logiciel de calcul formel il y a des solutions simples ( pour x=z et y=t par exemple) et une autre très compliquée(*). Pourquoi vouloir résoudre ce système ?
Cordialement.
(*) tu auras besoin de connaître le signe de -4+c^2*d^4+4*a^2*c^3*b+4*a^2*b^2*c^2+4*c^2*b*d*a^2+20*d^2*b*c^2*a+16*d^2*b^4+16*d^3*b^3+a^2*c^4+2*a*c^5+80*c^2*b^3*d+72*c^3*b^2*d+32*c*b^4*d+76*c^2*b^2*d^2+64*d^2*b^3*c+32*d^3*b^2*c+36*c^3*d^2*b+20*c^2*d^3*b+4*c*d^4*b+28*c^4*d*b+16*a*c*b^3*d+28*a*c^3*d*b+16*d^2*b^2*c*a+4*d^3*b*c*a+40*a*c^2*b^2*d+8*c^5*b+24*c^3*b^2*a+12*c^4*b*a+16*c^2*b^3*a+2*a^2*c^3*d+a^2*d^2*c^2+32*c^3*b^3+24*c^4*b^2+6*a*c^4*d+6*a*c^3*d^2+2*a*c^2*d^3+4*c^3*d^3+4*c^5*d+16*c^2*b^4+c^6+6*c^4*d^2+4*d^4*b^2 -
Bonjour,
Par différence et factorisation...
$t=y, x=z$ et discussion sur les paramètres. -
En fait il s'agit de déterminer les états d'équilibres d'un système d'équations différentielle ordinaire . Ce qui m'amène à résoudre ce système.
-
gerard0 peux-tu m'écrire les solutions que tu as trouvé ? Je verrai celles qui m'intéresse dans mon cas.
-
Je ne suis pas sur l'ordinateur où j'ai sous-traité le calcul, mais tu peux passer par un programme formel, Mathematica, Maple, Xcas,... ou même sur le net par Wolfram alpha.
Cordialement
. -
Voilà ce que donne Maple :
Deux solutions où x=z et y=t
{y = 0, x = 1, t = 0, z = 1},{x = (c+d)/a, t = c*(-c+a-d)/a/(c+d), y = c*(-c+a-d)/a/(c+d), z = (c+d)/a}
puis une troisième ( et/ou quatrième qui dépend de la résolution d'une équation du second degré, voir la présence de "RootOf( ..), toujours la même), bien plus compliquée :
{z = RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)/a, y = -(-2*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*a*c*b+2*a*c*b*d+a*c^2*d-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*a*c^2-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*c*b*d-2*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*b^2*d+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+2*d^2*b^2+2*c^2*b*d+6*d*b^2*c+2*a*c*b^2+3*a*c^2*b+d^2*b*c+a*c^3)/(2*c*b+c*d+c^2+d*b)/a/RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2), t = -b*(-2*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*a*c*b+2*a*c*b*d+a*c^2*d-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*a*c^2-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*c*b*d-2*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*b^2*d+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+2*d^2*b^2+2*c^2*b*d+6*d*b^2*c+2*a*c*b^2+3*a*c^2*b+d^2*b*c+a*c^3)/(2*c*b+c*d+c^2+d*b)/a/RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)/(-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)+b+c+d), x = (2*c*b+2*d*b-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*b+c^2+2*c*d-c*RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)*d+d^2)/(-RootOf(a*d^2*c+3*c^2*b*d+8*d*b^2*c+2*a*c*b^2+a*c^3+4*c^2*b^2+c^3*b+4*c*b^3+4*d*b^3+4*d^2*b^2+d^3*b+3*a*c^2*b+2*a*c^2*d+3*a*c*b*d+3*d^2*b*c+(-a*c^2-2*d^2*b-c^3-d^2*c-2*a*c*b-2*c^2*d-4*c^2*b-4*b^2*d-a*c*d-4*c*b^2-6*c*b*d)*_Z+(2*c*b+c*d+c^2+d*b)*_Z^2)+b+c+d)/a}
Eh oui, ce n'est pas très agréable !
A moins que la méthode de YvesM simplifie le problème ...
Cordialement. -
Bah, ce n'est pas si affreux que cela. Le même résultat, en plus lisible peut-être : le système se casse effectivement en trois morceaux, deux de degré 1 et un de degré 2. Dans celui de degré 2 on voit une équation du second degré en $t$, et d'autres équations permettant d'exprimer $x,y,z$ comme polynômes du 1er degré en $t$.
-
gerard0 peux tu m'expliquer ce que c'est que le RootOf et le Z^2 qui apparaît dans la solution ? Je ne suis pas encore trop familier avec ces logiciels .
Néanmoins j'ai pu obtenir les deux premières solutions à la main. -
Oui,
ça revient à ce que propose Maple, mais la résolution reste complexe. Si ça peut servir à Yeo ...
Cordialement. -
RootOf veut simplement dire "racine de". Autrement dit, il reste à exprimer chacune des racines du polynôme qui suit et à remplacer. Les logiciels formels ne font pas certains calculs spontanément, pour éviter les calculs en boucle ou les formulations illisibles. Ici, par exemple, l'expression des racines dépend du signe d'une expression plutôt compliquée.
On retrouve une équation analogue dans le document de GaBuZoMeu, les 6 dernières lignes à partir du 4c²b²d, le discriminant n'est pas élémentaire ...
Cordialement. -
Ah, effectivement, j'aurais pu reconnaître, mais j'ai une très vieille version V.
Cordialement. -
Là c'est plus compliqué que ce que je pensais !!!
Etant donné un tel système, est-il possible que deux solutions soient stables à la fois ? ( en fait je me propose d'étudier la stabilité de la solution qu'a donné gerard0 avec les paramètres ) . -
En fait , je veux parler de la stabilité des solutions du système associé
$\frac{dx}{dt}= -a xy -( b+c )x+bz+c $
$ \frac{dy}{dt}=a xy -( b+c +d)y+bt $
$ \frac{dz}{dt}=-a zt -( b+c )z+bx+c $
$\frac{dt}{d}=a zt -( b+c+d )t+by $
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