J'aimerais savoir s'il était suffisant pour que deux groupes finis soit isomorphes, que ces deux groupes aient le même nombre d'éléments de même ordre. Si non, pourriez-vous m'indiquer un contre-exemple ?
Bonsoir Gasoil
Si les groupes sont commutatifs, cela est suffisant.
Si les groupes ne sont pas commutatifs, ce n'est pas suffisant.
Un exemple vient avec les deux groupes d'ordre 16 : $G_1= C_8\times C_2$ et $G_2= C_8\rtimes_\phi C_2$, avec $\phi : C_2\rightarrow \mathrm{Aut}(C_8)$ est défini par $\phi(b)=(a\mapsto a^5)$ où $a$, (resp. $b$) engendre le $C_8$ (resp. le $C_2$).
Tous deux ont le neutre d'ordre 1, 3 éléments d'ordre 2, 4 éléments d'ordre 4 et 8 éléments d'ordre 8.
Un autre exemple est donné par l'espace vectoriel de dimension 3 sur $\mathbb F_3$ (isomorphe à $C_3^{\,3}$) et le sous-groupe de $GL_3(\mathbb F_3)$ des matrices triangulaires supérieures à diagonale de 1.
Tous deux ont 27 éléments, avec le neutre d'ordre 1 et 26 éléments d'ordre 3.
Réponses
Si les groupes sont commutatifs, cela est suffisant.
Si les groupes ne sont pas commutatifs, ce n'est pas suffisant.
Un exemple vient avec les deux groupes d'ordre 16 : $G_1= C_8\times C_2$ et $G_2= C_8\rtimes_\phi C_2$, avec $\phi : C_2\rightarrow \mathrm{Aut}(C_8)$ est défini par $\phi(b)=(a\mapsto a^5)$ où $a$, (resp. $b$) engendre le $C_8$ (resp. le $C_2$).
Tous deux ont le neutre d'ordre 1, 3 éléments d'ordre 2, 4 éléments d'ordre 4 et 8 éléments d'ordre 8.
Un autre exemple est donné par l'espace vectoriel de dimension 3 sur $\mathbb F_3$ (isomorphe à $C_3^{\,3}$) et le sous-groupe de $GL_3(\mathbb F_3)$ des matrices triangulaires supérieures à diagonale de 1.
Tous deux ont 27 éléments, avec le neutre d'ordre 1 et 26 éléments d'ordre 3.
Alain