Endomorphismes symétriques

Bonjour à tous,

On prend deux endomorphismes symétriques positifs $f$ et $g$ et on veut montrer que $\text{ker}(f+g) = \text{ker}(f) \cap \text{ker}(g)$ et $\text{im}(f+g) = \text{im}(f) + \text{im}(g) $. J'ai le sentiment que c'est faux si $f$ et $g$ ne commutent pas mais je ne trouve pas de contre-exemple… Et même dans ce cas là, je n'aboutit pas même en usant de $E = \text{ker}(f) \oplus \text{im}(f)$.

Des idées?