Un système facile ?

Bonjour,

Le système n’est défini que pour $x+y>0$ il est donc naturel de poser $x+y=a>0$. Dans la seconde équation, on substitue $y$ par $a-x$. On a une équation de degré deux en $x$ dont les racines sont $\sqrt{a}$ et $-1-\sqrt{a}$.
On reporte dans la première équation, on factorise par $1-\sqrt{a}$ et on trouve soit $a\sqrt{a}-a+\sqrt{a}+3=0$ dont l’étude de fonction montre la stricte positivité soit $a^2\sqrt{a} +3a^2+7a\sqrt{a}+9a+6\sqrt{a}+2$ dont la stricte positivité est évidente.
La seule solution necessaire est donc $(x,y)=(1,0)$.
La réciproque est vraie.

Bonjour,

Merci. On a démontré que nécessairement $a=1$. La première équation donne $a^2=1$, c’est bon. La seconde équation donne $x^2+x-2=0$ dont les solutions sont $1, -2$. On trouve donc $(x,y)=(1,0)$ ou $(-2,3)$. Les réciproques sont vraies. On a aussi des solutions complexes... mais je suppose qu’on résout sur les réels.

Dans ce cas @soland, le symbole $\sqrt{.}$ est étonnant (il incite aux réels, culturellement) mais surtout on doit le dire dans la consigne, non ?

Oui, je comprends que @soland parle des solutions telles que $x+y \in \mathbb R^+$, sinon, j'oserais dire que c'est n'importe quoi sans une définition, même capillotractée, de $\sqrt.$ sur $\mathbb C$.

Bonjour,

@soland :
Je me suis mal exprimé. Quand on écrit le système $\displaystyle x^2+y^2+{2xy\over x+y}=1, \sqrt{x+y} = x^2-y$, on peut considérer que $x, y \in \C$ avec $\displaystyle x+y >0.$
C'est ce que j'ai fait. Avec $\displaystyle x+y=a>0$, on reporte dans la seconde équation est on trouve $\displaystyle x^2+x-(a+\sqrt{a})=0$ dont les solutions sont $\displaystyle \sqrt{a}$ et $\displaystyle -1-\sqrt{a}.$ On reporte dans la prmière équation est on a $(1-\sqrt{a})(a \sqrt{a} - a + \sqrt{a} + 3) = 0$ et donc $\displaystyle a=1$ puisque $\displaystyle a \sqrt{a} - a + \sqrt{a} + 3 = \sqrt{a} (a - \sqrt{a} + 1) + 3 >0$ ou $\displaystyle (1-\sqrt{a}) ( a^2\sqrt{a}+3a^2+7a\sqrt{a}+9a+6\sqrt{a}+2) = 0$ et donc $\displaystyle a=1.$
La seule solutino est $\displaystyle a=1$ et donc $\displaystyle x=1$ ou $\displaystyle x=-2.$ Les deux seules solutions complexes sont $\displaystyle (x,y)=(1,0)$ et $\displaystyle (x,y)=(-2,3).$ La réciproque est vraie. On a donc résolu ce système dans $\C.$

Une alternative est de donner une définition à $\displaystyle \sqrt{z}, z \in \C$, mais l'énoncé doit le faire. Par exemple, pour $\displaystyle z \in \C^*$, $\displaystyle z = \rho e^{i \theta}, \rho >0, \theta \in ]-\pi,\pi]$ et pour $\displaystyle z=0$, $\displaystyle \rho=0$, alors $\displaystyle \sqrt{z} = \sqrt{\rho} e^{i \theta/2}.$
On factorise alors $\displaystyle a \sqrt{a} - a + \sqrt{a} + 3 =(\sqrt{a}+1) (a-2 \sqrt{a} + 3)=0$ et donc $\displaystyle a=-1-2 \varepsilon i \sqrt{2}, \varepsilon=\pm1$ ou $\displaystyle a^2\sqrt{a}+3a^2+7a\sqrt{a}+9a+6\sqrt{a}+2= (\sqrt{a}+1) (2 a \sqrt{a} + a^2+5 a + 4 \sqrt{a}+ 2)=(\sqrt{a}+1) (a (\sqrt{a}+1)^2 +(2 \sqrt{a}+1)^2+1)=0$ qui n'a pas de solution.

Les solutions sont donc nécessairement $\displaystyle x=\sqrt{a}$ ou $\displaystyle x=-1-\sqrt{a}$ avec $ \displaystyle a=-1-2 \varepsilon i \sqrt{2}, \varepsilon=\pm1.$
$\bullet $ Pour $\displaystyle x=\sqrt{a}$ :
On écrit $\displaystyle x=\alpha + i \beta, (\alpha, \beta) \in \R^2$ et alors on résout $\displaystyle \alpha^2-\beta^2=-1, \alpha \beta = -\varepsilon \sqrt{2}$ qui implique $\displaystyle {2 \over \beta^2}-\beta^2 = -1$ et donc $\displaystyle \beta = \varepsilon' \sqrt{2}, \varepsilon' =\pm1.$ On a donc $\displaystyle x=- \varepsilon \varepsilon' +i \varepsilon' \sqrt{2}$ et par définition de la racine carrée, la partie réelle est positive : $\displaystyle x=1-i \varepsilon \sqrt{2}.$ On trouve donc nécessairement $(x,y) = (1-i \varepsilon \sqrt{2}, -2-i \varepsilon \sqrt{2}), \varepsilon=\pm1.$ La réciproque est vraie. Ce cas est résolu.
$\bullet $ Pour $\displaystyle x=-1-\sqrt{a}$ :
On a $\displaystyle x=-1-\sqrt{a}$ et donc $\displaystyle -1-x=\sqrt{a}$ d'où l'on déduit immédiatement (voir cas précédent) que $\displaystyle -1-x=1-i \varepsilon \sqrt{2}$ et donc $\displaystyle x=-2+i \varepsilon \sqrt{2}$, puis $\displaystyle y=1-3i \varepsilon \sqrt{2}$ que l'on reporte dans la première équation pour trouver $\displaystyle x^2+y^2+{2xy\over x+y}={17-i \varepsilon 54 \sqrt{2} \over 1+i\varepsilon 2 \sqrt{2}} \neq 1.$

Toutes les solutions du système sont donc (sur les complexes et avec la définition de la fonction racine) : $\displaystyle (x,y) \in \{(1,0), (-2,3), (1-i \varepsilon \sqrt{2}, -2-i \varepsilon \sqrt{2})| \varepsilon=\pm1\}.$

Bonjour,

Le système que tu viens de donner : $z^2=x+y, z=x^2-y, x^2+y^2+{2xy\over x+y}=1$ est un nouveau système différent du système original et sans doute avec d’autres solutions en complément des solutions du système original.
C’est un peu pénible à résoudre car long mais sans difficulté.

Bonjour,

@Dupuits, tu as raison, mais le système original est $C$ : $\sqrt{x+y}=x^2-y, x^2+y^2+2xy/(x+y)=1.$ Les solutions de $A$ et/ou $B$ contiennent les solutions de $C$ mais des solutions de $A$ et $B$ ne sont pas solutions de $C.$