Des applications linéaires pas si nombreuses

Boole et Bill · June 2018

Bonjour, j'ai lu que si deux matrices sont équivalentes ( au sens $A=Q^{-1}BP$), alors elles représentent la même application linéaire. Peut on en déduire par exemple qu'il n'existe que deux applications linéaires de $\R$ dans $\R$? À savoir l'application nulle et "l'autre"?

Cyrano · June 2018

Au sens de cette équivalence, oui. Toutes les applications $x\mapsto ax$ avec $a$ non nul sont équivalentes à $x\mapsto x$.

Boole et Bill · June 2018

Ok merci, donc on parle tout de même de classes d'équivalences d'applications.

Poirot · June 2018

Si deux matrices sont équivalentes, elles représentent bien la même application linéaire, éventuellement entre deux bases différentes.

De manière générale, deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. C'est l'un des avatars du théorème du rang.

brian · June 2018

Ce qu'a dit Poirot en un peu plus explicite (peut-être) :

Si tu te donnes $a$, $b$ et $\mu$ dans $\R$ tous non nuls, tu peux facilement trouver des bases $b_1$, ${b'}_1$, $b_2$ et ${b'}_2$ du $\R$-espace vectoriel $\R$ telles que $x\mapsto \mu x$ ait pour matrice $(a)$ dans $b_1$ et ${b'}_1$ (départ/arrivée), et $(b)$ dans $b_2$ et ${b'}_2$. Dans ce cas, on a bien la même application linéaire représentée par deux matrices équivalentes éventuellement différentes.

En gros, si tu veux que des matrices $1\times1$ non nulles arbitrairement choisies représentent le même endomorphisme de $\R$, il faut t'autoriser à prendre des bases différentes au départ et à l'arrivée, sinon le coefficient $\mu$ impose l'unique coefficient de la matrice correspondante dans n'importe quelle base.

Des applications linéaires pas si nombreuses

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