Exemple forme sesquilinéaire
dans Algèbre
Bonjour,
Savez vous comment prouver rapidement pour une matrice de taille n qu'elle représente une forme sesquilinéaire ? j'ai l'impression qu'il faut faire énormément de calculs... merci!
Savez vous comment prouver rapidement pour une matrice de taille n qu'elle représente une forme sesquilinéaire ? j'ai l'impression qu'il faut faire énormément de calculs... merci!
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Réponses
Tu as dû oublier des choses en cours de route.
Ici en prenant sesquilinéaire comme linéaire sur la première variable, et linéaire avec conjugaison sur la deuxième, je trouve pas ça évident ... pourquoi f(u, \lambda v + w) = \lambda barre * ( f(u;v) + f(u;w) )
?
ce n'est pas aussi simple que ça, si ? comment faire?
Soit $f$ une forme sesquilinéaire sur $E\times E$, où $E$ est un $\C$ espace vectoriel de dimension $n$. Soit $\mathcal B=(b_1,\ldots, b_n)$ une base de $E$. La matrice de $f$ dans la base $\mathcal B$ est la matrice $M$ de coefficients $m_{i,j}=f(e_i,e_j)$.
Soit $X$ (resp. $Y$) le vecteur colonne des coordonnées de l'élément $v$ (resp. $w$) de $E$ dans la base $\mathcal B$. Alors $f(v,w)$ se calcule par
$$ X^*\,M\, Y\;,$$
où $X^* =\overline{X^{\mathsf T}}$ (transposé - conjugué).
Je veux bien savoir cet argument ? aucune volonté de ma part d'affirmer ma sainte parole, mais juste pouvoir nuancer mon cours d’Algèbre qui lui écrit antilinéaire à droite ? J'avais lu que c'était surtout les physiciens (quantique) qui écrivaient à gauche.
Merci !