Exemple forme sesquilinéaire

Zéro calcul : toute matrice à coefficients complexes représente une forme sesquilinéaire (de même que toute matrice représente une forme bilinéaire).
Tu as dû oublier des choses en cours de route.

Il vaut mieux prendre antilinéaire sur la première variable et linéaire sur la deuxième (pour une raison que je pourrais expliquer).

Soit $f$ une forme sesquilinéaire sur $E\times E$, où $E$ est un $\C$ espace vectoriel de dimension $n$. Soit $\mathcal B=(b_1,\ldots, b_n)$ une base de $E$. La matrice de $f$ dans la base $\mathcal B$ est la matrice $M$ de coefficients $m_{i,j}=f(e_i,e_j)$.
Soit $X$ (resp. $Y$) le vecteur colonne des coordonnées de l'élément $v$ (resp. $w$) de $E$ dans la base $\mathcal B$. Alors $f(v,w)$ se calcule par
$$ X^*\,M\, Y\;,$$
où $X^* =\overline{X^{\mathsf T}}$ (transposé - conjugué).