Exercice d'algèbre EM Lyon 2017
dans Algèbre
Bonjour à tous,
j'espère que vous allez bien. Je vous écris car je suis actuellement en train de traiter un exercice d'algèbre niveau ECS, tiré du sujet Em Lyon 2017. (Je suis en ECE, et j'ai déjà fait l'ensemble des sujets de ma filière c'est pourquoi je fais ceux des ECS). Et j'ai une petite difficulté concernant la question 5) de la partie II: Étude d'un endomorphisme d'un espace de polynômes. Il me semble qu'il faut procéder en plusieurs étapes, mais j'ai un peu besoin d'être guidée.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Le sujet se trouve sur ce site : http://alainguichet.mathematex.net/ecs-touchard/wiki/lib/exe/fetch.php?media=math:2:sujets:eml:eml_2017_s_scan.pdf
Et mon travail sur le sujet en pièce-jointe. (Par ailleurs, veuillez m'excuser pour la rédaction, de la question 3) cela manque de rigueur je le reconnais, mais je voulais la finir vite donc j'ai sauté la rédaction).
Je vous remercie d'avance.
Belle soirée à tous !
j'espère que vous allez bien. Je vous écris car je suis actuellement en train de traiter un exercice d'algèbre niveau ECS, tiré du sujet Em Lyon 2017. (Je suis en ECE, et j'ai déjà fait l'ensemble des sujets de ma filière c'est pourquoi je fais ceux des ECS). Et j'ai une petite difficulté concernant la question 5) de la partie II: Étude d'un endomorphisme d'un espace de polynômes. Il me semble qu'il faut procéder en plusieurs étapes, mais j'ai un peu besoin d'être guidée.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Le sujet se trouve sur ce site : http://alainguichet.mathematex.net/ecs-touchard/wiki/lib/exe/fetch.php?media=math:2:sujets:eml:eml_2017_s_scan.pdf
Et mon travail sur le sujet en pièce-jointe. (Par ailleurs, veuillez m'excuser pour la rédaction, de la question 3) cela manque de rigueur je le reconnais, mais je voulais la finir vite donc j'ai sauté la rédaction).
Je vous remercie d'avance.
Belle soirée à tous !
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Réponses
je vous remercie pour votre réponse.
Je dois calculer $T(X^{k})$ du coup si k est égal à 0, on a $( X^{k})^{'}=0$ d'où $T( X^{k}) =0$.
De surcroît, si k est supérieur ou égal à 1, on a: $(X^{k})^{'}$=$kX^{k-1}$ ce qui nous donne $T(X^{k}) = k(k+1)X^{k} - k^{2}X^{k-1}$ Est-ce bon ?
En réalité c'est plus pour la matrice que j'ai du mal.. (La réponse est peut-être évidente mais...Je suis une personne qui manque cruellement de logique...)
Quant à la matrice, si tu as un espace vectoriel $E$ avec une base $B$ et un endomorphisme $f$, quelle est la définition de "la matrice de $f$ dans la base $B$" ?
Soit $B_E = (e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$.
La matrice de $f$ dans la base $B_E$ est $M_B,B(f)$ appartenant à $M_n(\mathbb R)$ dont les colonnes sont constituées des coordonnées des vecteurs $f(e_j),\ 1\leq j\leq n$ dans la base $ B_E$.
Pour la définition ci-dessus, ça va, je la connais, mais le problème est que j'ai du mal à déterminer les coefficients de la matrice dans le cadre de cet exercice.
[Pour mettre en indice : B_E, e_j qui donnent $B_E,\ e_j$ et les opérateurs \leq, \geq pour $\leq,\ \geq$. AD]
Quels sont les $e_i$ dans ton cas ? Que sont les $f(e_i)$ dans ton cas ? Quelles sont meurs coordonnées dans la base choisie ? Écris la matrice.
On appelle cette technique "mettre en œuvre le cours", une fois le cours appris, ça ne demande pas particulièrement de capacité et aucune "logique", seulement de la bonne volonté.
Cordialement.
Tu as calculé $T(X^k) = k(k+1)X^k - k^2X^{k-1}$: tu as donc exprimé $T(X^k)$ en termes de $X^k$ et $X^{k-1}$ qui sont des éléments de la base $(1,...,X^n)$: pour tout élément $e_i$ de cette base, tu sais décrire les coordonnées de $T(e_i)$ dans ladite base; que te manque-t-il ?
merci pour votre réponse ! Les $e_i$ font référence aux éléments de la base canonique, dont je dois calculer l'image par $f$ . Ainsi j'obtiens 0 pour la première colonne de la Matrice. Ohlala que suis-je bête ! A mon avis, je me mettais inconsciemment des barrières en me disant que c'est un sujet ECS, et que je n'y arriverais pas...
Par ailleurs, " Seulement de la bonne volonté" mais j'ai de la bonne volonté voyons Monsieur Gérard . C'est un exercice que je me suis imposée moi- même, si je ne voulais pas le faire, je ne l'aurais pas fait ou pire encore, j'aurais regardé un vilain petit corrigé ;-) !
merci pour votre aide :-) et bonne soirée à vous !
Continue ainsi :-)
NB : pas de "Monsieur Gérard", même si tu es fâchée. Je ne suis qu'un 0 (Gérard0), pas un monsieur. Mais je cause souvent méthodologie, en employant les bons mots, des mots crus. Qui peuvent être pris pour des qualificatifs de la personne à qui je réponds, alors qu'ils ne sont que des généralités. Relis mon message avec cette idée.
Cordialement.
- question 1 : la justification "D'après les propriétés de 'vect'" ne me convainc pas. Tu peux certainement trouver un argument plus pertinent.
- question 4 : certes, elle est facile, mais il ne faut oublier aucune condition. Peux-tu les lister ?
Tout d'abord, merci beaucoup pour votre intervention :-),
En ce qui concerne la question 1, est-ce bon si je dis que seules les deux dernières colonnes de la matrice forment une famille libre,( car la première colonne étant nulle), donc rang (A)= 2 ?
Et pour la question 2, les critères sont la stabilité par combinaison linéaire et il faut aussi dire que T est une application de E dans E.
Bonsoir Brian,
merci beaucoup pour votre superbe MP, plein de conseils et d'astuces en tous genres :-) ! ( J'ai essayé d'y répondre mais je ne sais pas si vous avez reçu ma réponse)
- pour cette famille de 2 vecteurs est-elle libre ?
- pourquoi T est-elle une application de E dans E ?
J'ai bien reçu ton MP, merci. Je n'ai pas répondu parce que je n'avais rien à ajouter (on peut toujours, bien-sûr, mais si tu prépares les concours, faut pas trop se disperser !) et ne voulais pas encombrer ta boîte aux lettres pour rien. :-)
Concernant tes questions mathématiques, je ne vais pas empiéter sur le travail de rougemaire, juste préciser qu'à mon avis tu ne peux pas vraiment parler de stabilité par combinaison linéaire pour justifier que $T$ est un endomorphisme (certes, on comprend ce que tu veux dire). Cette expression, sauf erreur, est réservée aux sous-espaces vectoriels (exemple [déconnecté de ton énoncé] : $F$ est une partie de $E$ non vide et stable par combinaisons linéaires, donc un sous-espace vectoriel de $E$). On dit que $T$ est une application linéaire de $E$ dans $E$. La linéarité en question s'écrit, comme tu le sais :
$$ \forall (\alpha, \beta) \in \R^2, \ \forall (P, Q) \in {\R_n[X]}^2, \ T(\alpha P + \beta Q) = \alpha T(P) + \beta T(Q) $$
(regarde le code LaTeX, et tu verras comment écrire les lettres de l'alphabet grec ; oui, ce « rappel » était en grande partie un prétexte ;-)).
je vous remercie pour votre aide, merci beaucoup !
Et non haha, je n'attendais pas vraiment de réponse de votre part en mp, je voulais juste être certaine que vous aviez reçu mes remerciements ;-)
Bonsoir Roumegaire,
nous verrons cela demain matin, car je suis un peu fatiguée. Mais pour résumé mon idée voici mes arguments: la famille est libre car il n'y a pas le vecteur nul, et les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Et T est une application de E dans E car si je prends un polynôme quelconque de degré inférieur ou égal à n, il sera après calcul, également de degré inférieur ou égal à n..( formulé comme cela c'est un peu confus, je le reconnais ,c'est pourquoi je compte le démontrer demain ;-))
Bonne nuit !
Soit $P$ un élément de $E$, nous pouvons alors affirmer que le degré de $ X (X-1)P^{'}$ ne peut pas dépasser $n+1$. Par la suite, on sait qu'après dérivation, on retombe dans l'espace $R_n[X]$
Donc, $T$ est une application de $E$ dans $E$.
Bon pour la rédaction c'est vrai que ce n'est pas génial et détaillé.... Si vous en avez une à me proposer n'hésitez pas .
Et Roumegaire, vous avez bien fait de me reprendre sur cette question ;-)
Voilà voilà.
Belle journée ensoleillée à tous !
Tu écris:
Ce passage est suspect.
Sauf erreur de ma part, tu fais déjà intervenir la dérivation au niveau de la phrase précédente, et cette dérivation t'amène manifestement un polynôme de degré au plus $1+1+n-1 = n+1$.
Comment arrives-tu à un polynôme de degré au plus $n$ ?
Bonne journée ensoleillée,
edit: J'avais zappé un $'$... ce qui rend ce message inutile. Merci brian pour ta vigilance
$$ \forall P \in \R_n[X], \ T(P) = \Bigl( X(X-1)P' \Bigr)' $$
(le rendu des parenthèses et des « prime » n'est pas terrible sur le forum, en tout cas avec ma config)
Je suis d'accord avec la justification de blueberry19(2) (bon, je n'ai pas vu la linéarité, mais c'est sans doute trop facile ?).
P.S. : bravo blueberry19(2) pour le code LaTeX. Juste un petit truc, pour l'ensemble des réels, tu peux mettre \R au lieu de R ($\R$ vs. $R$), sinon ça ressemble à une variable $R$ (rayon d'un cercle, etc.).
merci tout de même pour votre intervention ;-)
Bonjour Brian,
oh mais si, je vais la faire cette petite question, la voici ;-) ( Le code Latex était un peu difficile cette fois-ci, j'espère que je n'ai pas fait de fautes..)
Montrons que $T$ est linéaire.
Soient $P$ et $Q$ des élements de $E$ et $µ$ un réel.
Alors $T(µP+Q)= (X(X-1)(µP+Q)^{'})^{'}=$$(µX(X-1)P^{'}+X(X-1)Q^{'})^{'}=$ $µ(X(X-1)P^{'})^{'} + (X(X-1)Q^{'})^{'}$$=µT(P)+T(Q)$
Donc $T$ est une application linéaire de $E$ dans $E$
Voilà voilà,
Belle journée ensoleillée à tous ! ( Et oui, il fait encore beau aujourd'hui :-) )
- pour une forumule au sein du texte (d'un paragraphe), mettre un dollar au début et un dollar à la fin ;
- pour une formule centrée, mettre deux dollars au début et deux dollars à la fin.
- tiens, je viens de découvrir : il semblerait que l'on puisse aussi centrer une formule sur le forum comme suit :
ce qui est une méthode LaTeXement correcte (voir ma remarque ci-dessous).
En tout cas, pas de double dollar au milieu des égalités. Mais au moins, tout le monde a pu te lire facilement, c'est déjà bien agréable. :-)Remarque
J'ai précisé « le LaTeX du forum » car quand LaTeX est utilisé « normalement », c'est-à-dire en général pour produire des documents au format PDF, DVI ou PostScript, il ne faut pas utiliser de double dollar (c'est correct en TeX mais pas en LaTeX). À la place, on peut utiliser mais il y a d'autres manières. Également, j'ai utilisé plus haut dans la définition de $T$ des \Bigl et \Bigr avant les parenthèses extérieures pour les rendre plus hautes que les parenthèses intérieures (on peut aussi utiliser \left et \right et d'autres) ; hélas, avec mon navigateur et le logiciel du forum (je ne sais pas lequel est responsable ici), on ne voit pas la différence entre les deux types de parenthèses, mais avec un « vrai LaTeX » qui produit par exemple du PDF, on la verrait.