Nombre d'extensions d'un anneau de valuation

Bonsoir,

J'ai montré la proposition suivante:

Si $\mathcal{O}$ est un anneau de valuation d'un corps $K$ et $L$ une extension normale de $K$ alors les anneaux de valuation de $L$ qui étendent $\mathcal{O}$ sont conjugués sur $K$.

On en déduit en particulier que le nombre d'extensions de $\mathcal{O}$ en un anneau de valuation de $L$ est majoré par $\left[L:K\right]_s$.

Je sais que cette majoration reste vraie dans le cas d'une extension de corps finie (voire théorème $3.2.9$ de Valued Fields de Engler et Prestel) mais la preuve de cette référence passe par d'autres chemins.

J'aimerais donc savoir si vous voyiez comment déduire cette majoration, dans le cas d'une extension finie arbitraire, de la proposition ci-dessus.

Merci d'avance.