Bonjour,
Dans le cadre d'un travail sur les nombres de Bell je suis amené à construire un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$ pour lequel là base $(\gamma_k)_{0 \leq k \leq n}$ avec $
\gamma_k = \prod_{i = 0}^{k-1}(X-i)
$ est orthogonale. Comment faire ?
Réponses
En fait pour avoir un peu de contexte :en partant de $B_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}$ j'aimerai simplifier un peu plus le résultat obtenu, pour ça je prévoyais de décomposé $X^n$ sur $\mathcal{B} :=(\gamma_k)_{0 \leq k \leq n}$ afin de pouvoir écrire $X^n = \sum_{k=0}^{n} \lambda_k \gamma_k$ et ainsi reconnaître un développement en série entière de $exp$ on aurait alors $B_n = \sum_{k=0}^{n} \lambda_k$ et si la base $\mathcal{B}$ est orthogonale/normale pour un produit scalaire "sympa" on peut déterminer "facilement" les $(\lambda_k)_{0 \leq k \leq n}$ mais peut-être n'est-ce pas la meilleure façon de raisonner ?
$$P(X)=c_0(P)+Xc_1(P)+X(X-1)c_2(P)+\cdots$$ tu vois que $c_0(P)=P(0)$, $c_n(P)=P(n)-P(n-1)$ pour $n\geq 1.$ Si $P(X)=X^d$ avec $d>0$ alors
$$c_n(P)=n^d-(n-1)^d.$$ Le produit scalaire avec les $\gamma_k$ orthonormaux est $$\langle P,Q\rangle=P(0)Q(0)+\sum_{n\geq 1}(P(n)-P(n-1))(Q(n)-Q(n-1)).$$
Classiquement $X^n=\sum_{k=0}^n B_{n,k} \gamma_k$, où $B_{n,k}$ désigne le nombre de partitions d'un ensemble à $n$ éléments en $k$ sous-ensembles non vides. Pour montrer cette formule, le plus efficace me semble être de montrer que les fonctions polynomiales associées coïncident en chaque entier naturel, et ce par un argument de dénombrement.
$P(n)$ n'est pas $c_0+\cdots+c_n$ comme je l'ai cru bravement à partir de $n=1\ldots$ Les $B_{nk}$ sont en effet les nombres de Stirling de seconde espèce. reliés aux nombres de Bell qui intéressent l'auteur du fil. Voir Stanley, Enumerative combinatorics volume 1 page 34.