Catégorie des $A$-modules

Les endomorphismes du foncteur identité ne donnent que le centre de l'anneau $A$.

Le problème pour ta première question c'est qu'il y a beaucoup d'exemples d'anneaux non isomorphes dont les catégories de modules sont équivalentes (par exemple $\mathbb{C}$ et $M_2(\mathbb{C})$ ou plus généralement $A$ et $M_n(A)$). Donc pas d'espoir d'obtenir une caractérisation purement catégorique de $A$!

@commut : ton argument ne convient pas; on ne demande pas de retrouver $A$ à partir de $C_A$ mais de retrouver $A$ dans $C_A$ (par exemple si $A$-Mod et $B$-Mod sont équivalentes, rien a priori ne dit que $A$ ne sera pas envoyé sur $B$ par toute équivalence.

@marco : ta caractérisation ne marche pas : c'est aussi le cas pour $A^2$ (modulo le "plus petit", mais ça si par exemple $A^2$ se plonge dans $A$ sans lui être isomorphe ça ne marche pas)

Je ne sais pas répondre à ta question mais dans des cas particuliers si :
- si $A$ est un corps, on peut définir $0$ comme l'objet initial et final, ensuite on peut définir la notion de somme directe et de somme directe non triviale, et alors $A$ est le seul objet qui n'est pas une somme directe non triviale.
-si tu te donnes la donnée de $C_A$ et du foncteur d'oubli $U$, alors $(A, 1)$ est le seul représentant de $U$ à isomorphisme près

Si on ne se restreint pas aux anneaux commutatifs, l'argument de commut peut par contre être adapté en remarquant qu'il y a une équivalence $F:A- Mod \to M_n(A)-Mod$ qui envoie $A$ sur $A^n$ et donc pas sur $M_n(A)$ (en général) et donc qu'il n'y a pas de description générale en termes catégoriques.
Par contre ça ne répond pas pour les anneaux commutatifs...

Salut,

mon argument n'est pas vraiment mathématique. C'est plutôt une intuition de pourquoi il semble difficile de caractériser $A$ via un objet canonique de la catégorie.

D'un point de vue catégorique le module $A$ est un "progénérateur". c'est-à-dire qu'il est projectif de type fini et qu'il engendre la catégorie dans un certain sens. En tant qu'anneau on le retrouve parmi les anneaux d'endomorphismes des progénérateurs, mais il n'est pas plus joli qu'un autre.

Pour les anneaux commutatifs le problème est le même puisqu'ils ont la même catégorie de modules que leurs algèbres de matrices.

@marco : effectivement; bon donc comme les anneaux non commutatifs on a vu que ça ne marchait pas il faut trouver un autre contrexemple. Je ne serais tout de même pas étonné de trouver un autre $A$-module non isomorphe à $A$ qui se plonge dans $A$ et pour qui ça ne marche pas (mais pas de contrexemple en tête). Peut-être en rajoutant projectif ? (il va falloir utiliser la commutativité de $A$ dans la preuve de toute façon, si une preuve existe)

Soit $M$ un module tel que pour tout module $N$, il existe $I$ et un morphisme surjectif (définissable car c'est équivalent à épimorphisme dans $A$-Mod) $\displaystyle\bigoplus_{i\in I}M \to N$. Si $A$ est intègre, en prenant $N=A$, on obtient (en trouvant un antécédent à $1$) que $M$ contient un élément $x$ tel que $ax\neq 0$ pour tout $a\in A, a\neq 0$; et donc $A$ se plonge dans $M$. Si maintenant $A$ est principal, alors si $M$ se plonge dans $A$, on a que $M\simeq A$.

Ainsi, si $A$ est principal, alors $A$ est l'unique $A$-module qui vérifie ta propriété et qui se plonge dans toute personne ayant aussi la propriété.

Je vais essayer d'adapter ton argument pour ça, pour un $A$ plus général : si $M=A^{(I)}/N$ vérifie la propriété, il se plonge dans $A$: soit $f$ un tel plongement, et $p: A^{(I)} \to M$ la projection canonique. Alors$ f\circ p : A^{(I)} \to A$. Maintenant on pose $a_i = f((\delta_{ij})_j)$ (symbole de Kronecker) pour $i\in I$, par ton argument on a $(\delta_{ij}-\delta_{kj})_j\in \mathrm{ker}(f\circ p) = \mathrm{ker}p = N$ pour tous $i,k$. Donc si on regarde une injection canonique $\iota_i : A\to A^{(I)}$ suivant une coordonnée $i$, on a que $p\circ \iota_i$ est surjective (un bonhomme dans le quotient $M$ s'écrit $p(\displaystyle\sum_{i\in I}a_i (\delta_{ij})_j) = p((\displaystyle\sum_{k\in I}a_k)(\delta_{ij})_j) = p(\iota_i(\displaystyle\sum_{k\in I}a_k))$ ). Donc $M$ est un quotient de $A$, donc de $A$ par un idéal $J$.

Si désormais $A$ s'écrit comme image par $f$ d'une somme directe de $A/J$ et $j\in J$ on a $j = jf(a)$ (pour $a$ un antécédent de $1$) donc $j=f(ja) = f(0)=0$, donc $J=0$ donc finalement notre $M$ était un $A$.


Donc on aurait la caractérisation: "$A$ est le seul $A$-module $M$ tel que tout $A$-module est un quotient d'une somme directe de $M$'s qui se plonge dans tout autre $A$-module ayant la même propriété".
(ça me paraît très bizarre, vu que j'ai montré que si $M$ se plongeait dans $A$ alors $M$ était un quotient de $A$ :-S)

EDIT : j'ai trouvé l'erreur : ce n'est pas $(\delta_{ij}-\delta_{kj})_j$ qui est dans le noyau, mais $(a_k\delta_{ij}-a_i\delta_{kj})_j$ !donc tout est faux après

@commut : oui mais à nouveau les anneaux d'endomorphismes ne servent à rien pour cette question.. Et ton argument "intuitif" est faux par exemple pour les corps, qu'on peut retrouver.
Mais "leurs algèbres de matrices", elles ne sont pas commutatives, donc mon argument (qui, lui, est mathématique :-D ) ne s'applique pas.