Matrices-quaternions

A ma connaissance, les seules choses interessantes faites sur les matrices carrees de quaternions concernent celles qui sont hermitiennes au sens $q_{ij}=\overline {q_{ij}}.$ Dans ce cas, oui, le determinant a du sens. Plus generalement, c'est le meme traitement que pour les quatre autres algebres de Jordan euclidiennes, bien defendues dans le livre de Faraut et Koranyi Analysis on symmetric cones 1994.

Il y a un déterminant mais il est à valeurs dans $\R_+$.
L'inversibilité à gauche et à droite sont équivalentes, l'argument du pivot est correct (vaut aussi pour n'importe quel corps gauche, il suffit d'appliquer la théorie des espaces vectoriels à droite sur un tel corps).

Pour la surjectivité de l'exponentielle, on peut utiliser le fait (non trivial) que toute matrice quaternionique est conjuguée à une matrice à coefficients complexes. Il y a même une réduction à la Jordan pour les matrices carrées quaternioniques.
Pour tout cela, voir l'appendice de mon article "Réduction des endomorphismes semi-linéaires" dans la RMS 126-1.

Aucune idée, là vous dépassez ma compétence.

Sur ${\rm M}_n ({\mathbb H})$ il y a une application dite norme réduite qui remplace avantageusement le déterminant.
Pour la définir commençons par le cas $n=1$. On peut voir ${\mathbb H}$ comme l'ensemble des matrices complexes
de la forme :
$$q(z_1 ,z_2 ):=
\left( \begin{array}{cc}
z_1 & -z_2 \\
{\bar z}_2 & {\bar z}_1
\end{array}\right)
$$

On définit la norme réduite d'un quaternion comme étant le déterminant de la matrice de ${\rm M}_2 ({\mathcal C})$ qui le représente : ${\rm Nrd}_{\mathbb H}(q) = {\rm det}(q(z_1 ,z_2 ))=\vert z_1\vert^2 +\vert z_2\vert^2$ si $q=q(z_1 ,z_2 )$.

Pour définir la norme réduite de $A={\rm M}_n ({\mathbb H})$ on raisonne par blocs. En se servant du cas $n=1$, on regarde une matrice $M\in A$ comme une matrice $n\times n$ de blocs de la forme $q(z_1 ,z_2 )$, c'est-à-dire comme
une matrice de ${\rm M}_{2n}({\mathbb C}) $. La norme réduite ${\rm Nrd}_A (M)$ est par définition le déterminant de $M$ vue comme élément de ${\rm M}_{2n}({\mathbb C})$. Elle jouit des propriétés suivantes :

(a) ${\rm Nrd}_A (M)\in {\mathbb R}$ pour tout $M\in A$.

(b) $M\in A$ est inversible si et seulement si ${\rm Nrd}_A (M)\not= 0$.

(c) La restriction ${\rm Nrd}$ : ${\rm GL}(n,{\mathbb H})\longrightarrow {\mathbb R}^\times$ est un homomorphisme de groupes.

(d) Si on fixe une base quelconque de $A$ comme $\mathbb R$-espace vectoriel, ${\rm Nrd}_A (M)$ est polynomiale en les coordonnées de $M$.

D'un point de vue plus conceptuel, voilà ce qu'il se passe. On a un isomorphisme de ${\mathbb C}$-algèbres
$A\otimes_{\mathbb R} {\mathbb C}\simeq {\rm M}_{2n}({\mathbb C})$. Fixant un tel isomorphisme, on identifie $A$ à une sous-${\mathbb R}$-algèbre de ${\rm M}_{2n}({\mathbb C})$ par $M\mapsto M\otimes 1$. La norme réduite de $A$ est alors par définition la restriction du déterminant de de ${\rm M}_{2n}({\mathbb C})$. Il se trouve qu'elle est à valeurs dans $\mathbb R$.

Tout ceci est très bien expliqué dans tout cours introductif aux algèbres centrales simples (un autre mot-clé est aussi le groupe de Brauer).