Notation ; applications, opérateurs, relation
dans Algèbre
Bonjour,
je ne suis pas sûr de comprendre la différence entre les différentes notions que sont applications, opérateurs, relations [binaires]...
J'avais compris cela comme, une application transforme des éléments en d'autres éléments ; les opérateurs sont des applications légèrement plus complexes et moins conventionnelles, notamment, souvent leur écriture matricielle est légèrement étrange, ne respectant pas les formes classiques (par exemple, il faut écrire une matrice carrée sur une seule colonne, comme pour la Trace ).
Enfin les relations binaires sont des opérations élémentaires qui lient des éléments fondamentaux... comme par exemple la multiplication, les relations d'ordres, d'équivalences etc...
Pouvez vous déjà me confirmer ou rectifier mes propos ? Ensuite, dans quelle catégorie mètreriez vous la composition de fonction ? Parce que l'on peut la voir comme directement le résultat ( f o g = h ) ou bien la voir comme plutôt une relation binaire... ou un opérateur ? enfin je ne sais pas trop...
Et finalement, j'étudie actuellement les actions de groupe ; où mètreriez vous celles-ci dans toutes ces différentes catégories?
je vous remercie,
je ne suis pas sûr de comprendre la différence entre les différentes notions que sont applications, opérateurs, relations [binaires]...
J'avais compris cela comme, une application transforme des éléments en d'autres éléments ; les opérateurs sont des applications légèrement plus complexes et moins conventionnelles, notamment, souvent leur écriture matricielle est légèrement étrange, ne respectant pas les formes classiques (par exemple, il faut écrire une matrice carrée sur une seule colonne, comme pour la Trace ).
Enfin les relations binaires sont des opérations élémentaires qui lient des éléments fondamentaux... comme par exemple la multiplication, les relations d'ordres, d'équivalences etc...
Pouvez vous déjà me confirmer ou rectifier mes propos ? Ensuite, dans quelle catégorie mètreriez vous la composition de fonction ? Parce que l'on peut la voir comme directement le résultat ( f o g = h ) ou bien la voir comme plutôt une relation binaire... ou un opérateur ? enfin je ne sais pas trop...
Et finalement, j'étudie actuellement les actions de groupe ; où mètreriez vous celles-ci dans toutes ces différentes catégories?
je vous remercie,
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Réponses
On peut définir la multiplication des réels comme une application de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ :
$$ (x,y)\mapsto x\times y.
$$ La composition de fonctions peut aussi se définir comme une application. Toutes les "opérations" (*) se définissent comme des applications.
Cordialement.
(*) nom générique pour toute écriture qui donne un nouvel objet à partir de un, deux, trois objets ou plus : addition de nombres, de vecteurs, de fonctions, multiplication de nombres, produit scalaire ou vectoriel ou mixte, factorielle, intersections d'ensembles, ou union, ou complémentaire, etc.
GaBuZoMeu, secrétaire général de la LPDEV*.
*[size=x-small]Ligue de Protection des Droits de l'Ensemble Vide[/size]
Une dernière chose : comment peut-on définir la composition de fonctions et les actions ? vous dites qu'on peut toujours définir les opérations comme des applications... j'en suis +/- convaincu, mais je me suis rendu compte qu'on écrit une application comme f( quelquechose ) = quelquechose. Jamais on ne la désigne comme une opération.
Et si par exemple on note + l'opération liée à l'application f, alors a-t-on le droit d'écrire ker(+) ?
merci
-- Schnoebelen, Philippe
Prenons une opération $£$ à deux arguments pris dans les ensembles $E$ et $F$ et à valeurs dans $G$, c'est-à-dire que si $a$ est dans $E$ et $b$ est dans $F$, $a£b$ est bien défini (donc unique) et est dans $G$. Alors $(a,b)\mapsto a£b$ est bien une application de $E\times F$ dans $G$.
En mathématiques du supérieur, on définit les lois de composition (opérations) ainsi, ce qui évite de se demander de quoi on parle.
Par exemple le produit scalaire de vecteurs du plan (ensemble des vecteurs du plan noté $\mathcal V_2$) est une application de $\mathcal V_2^2$ dans $\mathbb R$; le produit vectoriel des vecteurs de l'espace est une application de $\mathcal V_3$ dans lui-même (on parle de loi de composition interne).
Cordialement
Donc je ne sais pas trop quoi en penser.
Pour répondre à nicolas.patrois, il y a écrit dans mon cours le noyau d'une action... donc j'en ai déduis qu'on pouvait parler du ker de ce que l'on voulait... e.g. ker P un polynome = Rac P, ses racines.
"toutes LCE/I est une relation binaire" Oui, une relation binaire fonctionnelle, qui est une application (*). Donc tu confirmes ce que j'ai dit.
Si tu as un cours sur ce sujet, revois le vocabulaire de base.
Cordialement.
(*) Une application est une relation binaire fonctionnelle telle que tout élément du premier ensemble est en relation avec un élément du deuxième (et un seul, puisqu'elle est fonctionnelle)
La définition correcte ne demande bien sûr pas que $F$ soit non vide !
Avec la définition correcte, tu peux démontrer la proposition suivante : si $E$ est non vide et s'il existe une application de $E$ dans $F$, alors $F$ est non vide.
Fort bien, mais ceci n'a rien à voir avec la définition d'une application.
C'est assez ahurissant pour moi de voir (ici ou ailleurs) à quel point la peur de l'ensemble vide peut faire dire des bêtises.