Matrice à coefficients entiers

senpai · June 2018

Bonsoir, en ce jour de match (je bute (:P)) je bloque sur un exercice sur des matrices à coefficients entiers.
Voici l'énoncé:

Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre premier, et $\Pi$ l'application $\Pi: \left\{\begin{array}{ccl}
\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) &\longrightarrow& \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \\
M=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j \leqslant n}& \longmapsto& a_{i,j} \mod p
\end{array}\right.$.
Si $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$, montrer que $rg(M) \geqslant rg(\Pi(M))$.

Tout d'abord première question je ne sais pas comment définir le rang d'une matrice à coefficient dans $\mathbb Z$, est-ce la même chose que pour des matrices à coefficients dans un corps ?
Sinon, je ne vois pas vraiment comment attaquer le problème, j'ai tenté de faire une récurrence mais je ne vois pas comment continuer. Si vous pouviez m'aider à démarrer ce serait super, merci!

marsup · June 2018

Bonsoir,

Sur un corps, le rang d'une matrice est le format de la plus grande matrice carrée extraite dont le déterminant est non-nul.

moduloP · June 2018

Tu peux voir ta matrice $M$ comme à coefficient dans $\Q$ et là tu as la définition du rang.

b.b · June 2018

Il y a différentes définitions du rang pour une matrice à coefficients dans un anneau commutatif : rang par rapport aux lignes/colonnes ou au déterminant, par exemple. Ces notions coïncident dans le cas d'un anneau intègre (le livre de Adkins et Weintraub détaille bien ces aspects). Sauf erreur, donc, il ne devrait pas y avoir de problème à définir le rang d'une matrice à coefficients dans $\Z$ comme on le fait pour n'importe quel corps.

senpai · June 2018

Ok merci j'étais simplement pas sûr de moi étant donné que l'on n'est pas dans les classiques $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ ni même dans un corps tout court.
Et du coup est-ce-que quelqu'un aurait une piste pour m'aider à démarrer ?

Maxtimax · June 2018

Le message de marsup est une piste ;-)

Poirot · July 2018

Le résultat vient essentiellement du fait que, pour $a \in \mathbb Z$, $a=0 \Rightarrow a=0 \text{ mod } p$, la réciproque étant fausse en général :-D

On peut se servir de l'indication de marsup, ou du fait que si on a une relation linéaire non triviale dans $\mathbb Q$ (donc dans $\mathbb Z$), alors on a une relation linéaire non triviale modulo $p$.