Une racine rationnelle au moins

Je crois que c'est violent mais que ça marche (pour la première question) : Soit $L$ un corps de décomposition du polynôme (dont je note les racines $s,t,x_1$- je les suppose non nulles sinon c'est immédiat)et $\sigma$ un automorphisme de $L$ (fixant $\mathbb{Q}$) . Alors $\sigma(s)\sigma(t) = \sigma(x_1)$.

Si $\sigma(s),\sigma(t) \in \{s,t\}$, $\sigma(x_1)=x_1$. Sinon on a par exemple $sx_1 = t$, et donc $s^2t= t$; donc $s=\pm 1$. Donc $t=\pm x_1$. Or (absence de terme en $x^2$) on a $s+t+x_1= 0$. Donc $\pm 1 + (\pm x_1) + x_1 = 0$. Si $\pm$ est un $-$, c'est absurde. Si c'est un $+$ on obtient $x_1 = \frac{-1}{2}$ et $x_1$ est donc rationnel. De même si $\sigma(x_1)= s$.

On a donc deux cas: ou bien il existe un automorphisme qui envoie $x_1$ sur $t$ ou $s$, auquel cas $x_1$ est rationnel (dans ce cas on aura plusieurs racines égales, et l'autre égale à $1$). Ou bien tout automorphisme de $L$ fixe $x_1$; mais dans ce cas-là $x_1$ est rationnelle par théorème de Galois. Dans tous les cas $x_1$ est rationnel.

On suppose $ac\ne0$ parce que sinon ce n'est pas le même problème. Vu que $a$, $b$ et $c$ sont pris rationnels et pas entiers on peut diviser par $a$ si nécessaire, ce qui permet de supposer que $a=1$. On sait que la somme des trois racines de $x^3+bx+c$, notées $x_1$, $s$ et $t$, est $0$ (coefficient de $x^2$) et que leur produit est $-c$.

Si on suppose de plus que $x_1=st$, alors $x_1^2=-c$. À moins que $x_1$ ne soit rationnel, son polynôme minimal est $x^2+c$ et il divise $x^3+bx+c$, de sorte que $-x_1$ est une autre de ses racines, disons $s$. Dans ce cas, la somme des trois racines vaut $0=x_1-x_1+t=t$, ce qui entraîne que $c=0$ et une contradiction. Ainsi, $x_1$ est bien rationnel.

Pour que l'hypothèse supplémentaire $a=1$ ait une influence, il faut supposer que $b$ et $c$ sont entiers et pas seulement rationnels. Dans ce cas, $x_1$ est rationnel et racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers donc c'est un entier : écrivons $x_1=p/q$ avec $p\wedge q=1$, l'égalité $p^3+bpq^2+cq^3=0$ entraîne que $q$ divise $1$.

Merci soland pour ces beaux problèmes.

Notons $u$ et $v$ les deux autres racines. On a $x_1=uv$. Quitte à remplacer $(a,b,c)$ par $(1,\frac{b}{a},\frac{c}{a})$, on peut supposer $a=1$.

Les relations coefficients-racines donnent :

(1) $uv+u+v=0$
(2) $uv(1+u+v)=b$
(3) $(uv)^2=-c$.

En remplaçant $u+v$ par $-uv$ dans (2), il vient $b=uv(1-uv)=uv-(uv)^2$ donc $uv=b+(uv)^2=b-c$, par conséquent $x_1=b-c$ est rationnel (et entier dans la deuxième question).